La teoría de conjuntos

La presencia de los conjuntos, de una u otra forma a todo lo largo y ancho de las matemáticas, hace necesaria una teoría formal sobre su comportamiento y sus propiedades.

El concepto de conjunto es intuitivo y se podría definir como una agrupación bien definida de objetos no repetidos y no ordenados; Un conjunto está bien definido si se sabe si un determinado elemento pertenece o no al conjunto.

Diagrama de Venn

Los diagramas de Venn son esquemas usados en la teoría de conjuntos, tema de interés en matemática, lógica de clases y razonamiento diagramático. Estos diagramas muestran colecciones (conjuntos) de cosas (elementos) por medio de líneas cerradas. La línea cerrada exterior abarca a todos los elementos bajo consideración, el conjunto universal U. Con los diagramas de Venn es posible representar las relaciones de intersección, inclusión y disyunción sin cambiar la posición relativa de los conjuntos

Relaciones de pertenencia, inclusión e igualdad

El conjunto de los números reales, es decir, el de todos los números, positivos y negativos, enteros y fraccionarios, incluso aquellos que no son ni lo uno ni lo otro como la raíz cuadrada de dos (√2), pero que de todos modos son a medida del 'algo' (√2, por ejemplo, es la medida de la diagonal de un cuadrado de lado 1), es sin duda el conjunto más representativo de todas las matemáticas. Por esta razón se presta de manera mu conveniente para mostrar las distintas relaciones y leyes de la teoría de los conjuntos.

La pertenencia

Un elemento b cualquiera se dice que pertenece al conjunto A si b es uno de los elementos de A. Esta relación entre b y A se escribe mediante el símbolo de pertenencia: ∈. si R es el conjunto de todos los números reales, entonces se tendría que 2 ∈ R. Esta expresión se lee 2 pertenece al conjunto R o 2 es un elemento del conjunto R.

Como no todo lo que existe es un número real (un zapato, por ejemplo, no es un número real), se necesita un símbolo para expresar el hecho de que un elemento c no pertenece a R o a un conjunto A cualquiera. Este símbolo es ∉ y la expresión c ∉ A se lee c no pertenece a A.

Este diagrama de Venn de la figura 1 sirve para ilustrar las relaciones de pertenencia y no pertenencia: x ∈ A, x ∉ A. Y se lee x pertenece a A, x no pertenece a A.

La inclusión o contenencia

El conjunto de los números naturales, es decir, el conjunto de los números que se utilizan para contar (1, 2, 3, 4, 5...) es solo una parte del conjunto de todos los números reales. Se dice, por ello, que el conjunto de los números naturales, N, es un subconjunto del conjunto de los números reales, R, o que el conjunto N está contenido en el conjunto R.

En general, dados dos conjuntos A y B, se dice que el conjunto A está contenido en el conjunto B, o que A es un subconjunto de B, si cualquier elemento de A es también un elemento de B. Esta relación se expresa mediante el símbolo de la inclusión, así: A ⊂ B.

Si un conjunto A está contenido en un conjunto B, entonces se puede afirmar también que el conjunto B contiene al conjunto A. Esto se puede simbolizar como B A. Es decir, A ⊂ B es equivalente a B A (figura 2).

La igualdad de conjuntos

Dos conjuntos son iguales si tienen exactamente los mismos elementos. En términos de subconjuntos, dos conjuntos A y B son iguales si se cumple la doble contenencia, es decir si A ⊂ B y B ⊂ A. Si los conjuntos A y B son iguales se escribe A = B y B = A en el caso contrario.

Los conjuntos A = {3, 8, 5} y B = {5 3, 8} son iguales puesto que constan de exactamente los mismos elementos, así estos no aparezcan exactamente en el mismo orden.

Subconjunto propio

Si los conjuntos A y B son tales que A ⊂ B pero A ≠ B, se dice que A es un subconjunto propio de B. Cuando esto sucede se utiliza el símbolo ⊂ y se escribe A ⊂ B. Como el conjunto de los números naturales N es un subconjunto de los números enteros Z, y este a su vez es un subconjunto de´del conjunto de los números reales R, entonces se tiene que N ⊂ Z ⊂ R.

Algunos conjuntos especiales

El conjunto universal

El conjunto universal o conjunto referencial, es el conjunto que contiene todos los elementos de todos los conjuntos con los que se está trabajando en un momento dado. Este conjunto se simboliza con la letra U.

El conjunto vacío

El conjunto que no tiene elementos se llama conjunto vacío y se simboliza con ɸ. Por ejemplo, el conjunto de los números impares divisible por 2 es vacío.