Matemáticas y conjuntos
| Los conjuntos, o colecciones, han formado parte de las matemáticas durante siglos. Incluso para los griegos aristotélicos, el número era un conjunto o colección de unidades. Pero no solamente las matemáticas hacen uso de los conjuntos: ellos aparecen en el uso cotidiano del lenguaje. Decir "uno" de algo implica decir muchas unidades de la misma cosa: la palabra "perro", de alguna manera, designa a todos los perros. |
La aparición de los conjuntos
En los distintos lenguajes de las diversas civilizaciones que han poblado la tierra, nunca han faltado las palabras para nombrar conjuntos de seres semejantes. La palabra perro en español se refiere, no a un único ejemplar de una especie de mamíferos, sino a todos ellos con características semejantes. Igual cosa ocurre con muchas otras palabras en todos los idiomas: árbol, casa, libro.. El acto de clasificar las cosas, como el de contarlas, es una de las primeras manifestaciones verdaderamente inteligentes del hombre primitivo. Como los números, los conjuntos aparecen lentamente como la herramienta indispensable del pensamiento del llamado Homo sapiens para poder ordenar el mundo.
Cantor formaliza la teoría de los conjuntos
A pesar de la familiaridad y uso recurrente que de los conjuntos hacían los matemáticos, la formalización del papel que estos juegan en las matemáticas solo ocurrió a finales del siglo XIX gracias principalmente a los trabajos de Georg Cantor. Este matemático fue quien instauró la teoría de los conjuntos como parte fundamental de las matemáticas mostrando cómo son una pieza tan necesaria en su estudio, como lo son los números o los puntos y las líneas de la geometría. Al mismo tiempo, y gracias a su propia teoría de conjuntos, Cantor emprende un riguroso estudio del infinito, hasta entonces fuente de enorme mortificación dentro y fuera de las matemáticas.
Conjuntos e infinito
Los matemáticos no encontraban mayores dificultades teóricas con los conjuntos mientras trabajaban con aquellos que tenían una cantidad finita de elementos. Estos conjuntos, que se podían representar satisfactoriamente mediante dibujos o la simbolización de cada uno de los elementos que los constituían, no permitían duda alguna sobre su propia existencia. Solo cuando se empezaron a concebir también como conjuntos a aquellos con un número no finito de elementos, surgió la necesidad de una teoría lo suficientemente amplia, capaz de desterrar las numerosas contradicciones que el infinito parecía traer consigo.
No se debe creer, sin embargo, que los problemas relacionados con el infinito son tan nuevos como la teoría formal de Cantor acerca de los conjuntos. Desde los días de Zenón de Elea (siglo V antes de J.C.) se habían puesto en discusión. Una muestra de las preocupaciones acerca del infinito que tenían los griegos, es la conocida paradoja de Aquiles y la tortuga, estudiada por Zenón:
Sobre una recta avanzan en la misma dirección Aquiles y una tortuga. El primero lo hace con una velocidad cien veces mayor que la de la segunda. Aunque parten al mismo tiempo, no lo hacen desde el mismo lugar, ya que la tortuga lo hace a cierta distancia delante de Aquiles, que se puede representar con la letra d. Zenón asegura que Aquiles nunca alcanzará a la tortuga puesto que cuando aquel haya recorrido la distancia d que lo separa de la tortuga, esta habrá avanzado una distancia d/100, y cuando Aquiles recorra esta distancia adicional que ahora lo separa de la tortuga, esta habrá avanzado d/10 000, y así sucesivamente. Aunque, efectivamente, Aquiles y la tortuga estarán más cerca entre sí, siempre los separará una fracción de la distancia original d. (ver: Paradoja de Aquiles y la tortuga).
Casi 2 500 años después de enunciados este y otros problemas, fueron nuevamente objeto de estudio, sentando así las bases de las matemáticas modernas, donde el tratamiento de los conjuntos infinitos es de especial importancia.
El infinito potencial: la solución griega
En la medida en que el infinito traía consigo tantos problemas de orden lógico y ontológico, los antiguos griegos decidieron eliminar el problema considerando únicamente el infinito potencial, es decir, la posibilidad de realizar un procedimiento tantas veces como se quiera. Así, por ejemplo, admitían que el proceso de sumar unidades se podía continuar tanto como se quisiera, o tanto como fuera necesario. Lo mismo podía decirse de la geometría de Euclides, uno de cuyos postulados afirma que toda recta se puede prolongar indefinidamente
Para los griegos, ese infinito, el de los números naturales, era el único infinito posible. Cantor utilizó la teoría de conjuntos para demostrar que existen otros infinitos, incluso, en cierto sentido muy preciso, más grandes.
El infinito actual y el infinito potencial en Cator
A partir de la segunda mitad del siglo XIX, matemáticos como el inglés George Boole y los alemanes Richard Dedekind y Gottlob Frege, haciendo eco de voces disidentes del proceder corriente como era la de Gauss, que pedía volver al rigor lógico mostrado por los griegos, efectúan trabajos y se plantean interrogantes encaminados a sentar las bases matemáticas de la lógica.
Uno de esos interrogantes era precisamente acerca del infinito. Antes de formalizarse la teoría de conjuntos, nadie había puesto en duda aquello de que «el todo es mayor que la parte». En otras palabras que hay más cocos en una canasta llena de cocos que en esa misma canasta después de retirados algunos de esos cocos. Todos los días, cuando se reparte algo, cuando se cuenta algo, se comprueba claramente la verdad de esa afirmación.
Pero, como descubrió Cantor, esto no es cierto cuando se trata de conjuntos infinitos, como el de los números naturales. En efecto, si un conjunto contiene todos los números naturales, es decir, aquellos utilizados para contar, o sea 1, 2, 3, 4, 5, 6, etc., y de él se retiran unos cuantos números, por ejemplo, el 8, el 9 y el 10, el conjunto resultante queda con tantos números como tenía antes: un número infinito de ellos que se pueden contar con los mismos números: 1, 2, 3, 4, etc.
Cantor fue el primero en advertir que los conjuntos con un número infinito de elementos no se comportan igual que aquellos con un número finito de ellos. En parte, por eso mismo, emprendió por primera vez un estudio sistemático de los conjuntos, tanto finitos como infinitos, dando lugar así a una verdadera revolución en las matemáticas, una revolución que incluso llegó a remover los cimientos mismos de las matemáticas, es decir, la lógica.
El todo no siempre es mayor que la parte
Esta construcción geométrica muestra que hay tantos puntos en el segmento de recta AB como en el segmento de recta CD a pesar de que la longitud del primero es un tercio de la del segundo. Es más se puede probar que un segmento de una longitud cualquiera, tiene tantos puntos como puntos hay en toda la recta real. Para comprobar esto obsérvese la construcción de la figura y piénsese en lo que ocurre cuando el punto P se acerca al segmento AB.
Incluso se puede probar que hay varios infinitos. Por ejemplo, el infinito que corresponde a la cantidad de números naturales es diferente del infinito que corresponde a la cantidad de números reales que son todos los números ya sean enteros, fraccionarios, irracionales, negativos o positivos.
Estos resultados y algunos otros, igualmente sorprendentes, hicieron que varios matemáticos discutieran agriamente con Cantor, pero también hubo quienes los aceptaron y continuaron las investigaciones acerca del infinito.
La lógica y la teoría de conjuntos
Cuando Cantor define conjunto como una colección determinada de diversos objetos reales o imaginarios, y que se denominan elementos del conjunto, se plantea el problema de cómo se pueden determinar rigurosamente cuáles son los elementos de una colección particular, y cuáles no. Concretamente, dado un objeto específico, cómo se puede saber si pertenece o no al conjunto.
Lo cierto es que, dado un objeto o elemento cualquiera y un conjunto, necesariamente una, y solamente una, de dos situaciones puede ocurrir: el objeto pertenece al conjunto o no pertenece a él.
Cuando se trata de conjuntos finitos, y sus elementos se enumeran explícitamente, estas cuestiones se resuelven con facilidad: basta con recorrer uno a uno los elementos de la colección y verificar si el elemento dado está o no entre ellos.
No ocurre lo mismo, sin embargo, cuando el conjunto tiene un número infinito de elementos, o incluso, cuando los elementos están dados mediante una descripción que los caracteriza, tal como todos los astros del cielo. En el caso de los conjuntos infinitos el intento por resolver el problema fue largo y tortuoso, como se verá a continuación.
El caso de Epiménides
Epiménides, el célebre poeta y profeta cretense, afirmó que todo lo que dicen los cretenses es mentira. El mismo Epiménides, un cretense ¿dice la verdad? No puede hacerlo, pues, según él mismo, los cretenses solo mienten, luego no es cierto que todo lo que dicen los cretenses es mentira y entonces ahora sí es posible que Epiménides esté diciendo la verdad.
Se obtiene así una contradicción, una afirmación que es cierta y falsa a la vez, un objeto que pertenece y no pertenece simultáneamente a un conjunto, en este caso el conjunto de proposiciones verdaderas.
La paradoja de Russell
Esta paradoja, expuesta hacia 1901 por el matemático y filósofo británico Bertrand Russell, es una de las más conocidas e importantes, no solo por la aparente facilidad con la que se le puede formular, sino también por lo que significó para su autor y por lo que lo llevó a reflexionar acerca de la teoría de conjuntos.
La paradoja de Russell surge al considerar al conjunto de todos los conjuntos que no son miembros de sí mismos y los que sí lo son. El conjunto de todos los gatos no es un miembro de este conjunto, pues no es un gato sino un conjunto. Pero el conjunto de todas las cosas que no son gatos sí es un miembro de este conjunto por no ser un gato.
¿Qué sucede, entonces, con el conjunto de todos los conjuntos que no se pertenecen a sí mismos? Dicho conjunto ¿pertenece al conjunto de conjuntos que son miembros de sí mismos? Si se examina con cuidado se verá que cualquiera sea la respuesta que se dé a este interrogante, surge una contradicción.
Russel establece entonces que el universo de los conjuntos está partido en dos partes excluyentes entre sí. En una parte están los conjuntos propios que no se pertenecen a sí mismos, y en la otra, los conjuntos impropios, es decir, los conjuntos que se pertenecen a sí mismos. Distinguiendo con cuidado entre las dos partes, es posible evitar esta y otras contradicciones.
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