Mínimo común múltiplo (m.c.m.)
El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más números es el menor número que es múltiplo de todos ellos. Ejemplo: mínimo común múltiplo de 2 y 3:
múltiplos de 2 → 2x1 = 2, 2x2 = 4, 2x3 = 6, 2x4 = 8, 2x5 = 10, 2x6 = 12
múltiplos de 3 → 3x1 = 3, 3x2 = 6, 3x3 = 9, 3x4 = 12, 3x5 = 15, 3x6 = 18
Se pueden seguir sacando más múltiplos, pero los que hemos sacado corresponden a las multiplicaciones de cada número por los números menores posibles, empezando por 1, y hasta 6, y hemos obtenido dos múltiplos comunes, 6 y 12.
Si continuamos sacando más múltiplos tendrá que ser multiplicando los dos números por números mayores que 6 y, obviamente, los múltiplos serán mayores, y se trata es de encontrar el menor múltiplo común. Ya tenemos para escoger entre 6 y 12. Entonces:
Como 6 es menor que 12 el mínimo común múltiplo de 2 y 3 es 6.
El anterior procedimiento es para explicar de dónde sale el mínimo común múltiplo, pero el método para calcularlo se explica a continuación.
Cálculo del mínimo común múltiplo (m.c.m.)
Partiendo de dos o más números y por descomposición en factores primos (números primos divisores exactos de un número), el mínimo común múltiplo de esos números será el resultado de multiplicar todos los factores comunes y no comunes elevados a la mayor potencia.
Ejemplo: calcular el mínimo común múltiplo de 72 y 50
Efectuamos con cada uno de los números, divisiones sucesivas, empezando con el número más pequeño que los divida exactamente. Con el cociente que resulte hacemos lo mismo, y así sucesivamente hasta obtener uno (1) como cociente:
Número 72 → 72÷2 = 36, 36÷2 = 18, 18÷2 = 9, 9÷3 = 3, 3÷3 = 1
Número 50 → 50÷2 = 25, 25÷5 = 5, 5÷5 = 1
Las anteriores divisiones se presentan así: |  |
| Factores primos de 72: 23 y 32 | Factores primos de 50: 21 y 52 |
Como ya se anotó: el mínimo común múltiplo de los números será el resultado de multiplicar todos los factores comunes y no comunes elevados a la mayor potencia:
- Los dos números tienen un factor común que es 2, pero el que está elevado a la mayor potencia es el de 72 que es 23. Entonces este es el que debemos tomar.
- Hay dos factores no comunes: 32 (de 72), y 52 (de 50). Los no comunes a tomar deben ser también los elevados a la mayor potencia, pero como no hay sino estos dos, estos dos son los que tomamos.
- Entonces el mínimo común múltiplo de 72 y 50 es 23 x 32 x 52 = 8 x 9 x 25 = 1800, y se expresa así:
m.c.m. (72, 50) = 23 x 32 x 52 = 1800
Máximo común divisor (MCD)
De acuerdo con la sexta de las propiedades de la divisibilidad de los números, 1 divide a todos los números enteros. Esto significa que dados dos enteros cualesquiera, 1 es un divisor común de ambos. Sin embargo, ocurre con frecuencia que dados dos enteros, a y b, hay otros divisores comunes de ambos números. Se llama máximo común divisor (MCD) de dos o más números al mayor de esos divisores comunes. El MCD de 24 y 20 es 4, mientras que el máximo común divisor de 25 y 36 es 1. Dos números cuyo máximo divisor es 1 se dice que son primos relativos. Entonces:
El máximo común divisor (MCD) de dos o más números es el mayor número que los divide a todos sin dejar resto (residuo).
Cálculo del máximo común divisor
El máximo común divisor de dos números puede calcularse determinando la descomposición en factores primos de los dos números, y tomando los factores comunes elevados a la menor potencia, el producto de los cuales será el MCD.
Ejemplo: calcular el máximo común divisor de 48 y 60
- Descomponemos los números en sus factores primos:
 |  |
| Factores primos de 48: 23 y 31 | Factores primos de 60: 22, 31 y 51 |
- Los factores comunes (están en ambos números) son 2 y 3, pero debemos tomar los de menor potencia: 22 de 60, y 31 que está en ambos con potencia igual.
- Entonces el máximo común divisor de de 48 y 60 es 22 x 31 = 4 x 3 = 12, y se expresa así:
MCD (48, 60) = 22 x 3 = 12
Lo anterior quiere decir que 12 es el mayor número que puede dividir a 48 y 60 sin dejar resto (residuo):
48 ÷ 12 = 4, 60 ÷ 12 = 5
El algoritmo de Euclides
Euclides dio un método para hallar el máximo común divisor de los números enteros a y b:
Si a > b y b es un divisor de a, entonces b es el máximo común divisor de a y b.
Si a > b pero b no es un divisor de a, entonces existen números enteros q1 y r1 tales que
a = bq1 + r1 y ≤ r1 < b.
Si r1 ≠ entonces existen enteros q2 y r2 tales que
b = r1q2 + r2 y ≤ r2 < r1 .
Nuevamente, si r2 ≠ entonces existen enteros q3 y r3 tales que
r1 = r2q3 + r3 y ≤ r3 < r2 .
Si se continúa de esta manera se obtiene una secuencia decreciente de números que finalmente llega a cero:
r1 < r2 < r3 ... < rk < rk+1 .
Si rk+1 = entonces rk es el máximo común divisor de a y b.
Si b y< a, el procedimiento anterior se ejecuta de la misma manera pero con los papeles de a y b invertidos.
A manera de ejemplo, supóngase que se desea encontrar el máximo común divisor de 60 y 48. Como 60 > 48 pero 48 no es un divisor de 60, se tiene que 60 = (48 x 1) + 12. Como 12 ≠ entonces el máximo común divisor de 60 y 48 es r1, o sea, 12.
| Volver al índice |
