Números irracionales

Los números irracionales son aquellos números reales que no pueden representarse, a diferencia de los racionales, como resultado de la división de un entero por otro.

El término irracional aparece en libro X de Los elementos de Euclides, y se refiere a magnitudes que no son conmensurables con una magnitud dada, es decir, que no se pueden medir utilizando como unidad o patrón de medida dicha magnitud.

Así, por ejemplo, si se toma como unidad el lado de un cuadrado, no hay forma de comparar la medida de su propia diagonal con esa unidad. No sería ese el caso si la medida de la diagonal fuera un número racional, es decir, el resultado de dividir un entero por otro, pues entonces sí podría decirse que "tantas veces la medida de la diagonal de un cuadrado es igual a tantas otras veces la medida de uno de sus lados.

El descubrimiento de las cantidades inconmensurables por parte de los griegos, hacia el año 430 a.C., significó un cambio dramático en su manera de pensar pues quedaba desvirtuada su creencia absoluta en los números enteros.

La existencia de magnitudes que no se podían expresar como el resultado de dividir un número entero por otro iba en contra de todo lo que enseñaban los pitagóricos.

Las cantidades inconmensurables reciben el nombre de números irracionales. La medida de la diagonal de un cuadrado de lado 1, que en notación moderna se escribe como , fue el primer número irracional que se conoció. Hoy se sabe que también lo son las raíces de todos los números que no sean cuadrados perfectos.

En conclusión, los números irracionales son los que que poseen infinitas cifras decimales no periódicas, que por lo tanto no pueden ser expresados como fracciones. Ejemplos:

π = 3,14159265358979323846…
√7 = 2.6457513110645905905016157536393…
√11 = 3.3166247903553998491149327366707…
√15 = 3.8729833462074168851792653997824…
√500 = 22.360679774997896964091736687313…
√1001 = 31.638584039112749143106291584801…

Propiedades de los números irracionales

La suma y la diferencia de un número racional y de un número irracional es un número irracional.
El producto de un racional diferente de cero por un irracional es un número irracional.
El cociente de un racional (≠ 0) entre un irracional es un número irracional.
El inverso de un número irracional es número irracional.
Sea un binomio, formado por un racional más un radical de segundo orden, o la suma de dos radicales de segundo orden, que es irracional. Entonces su conjugado es irracional.
Los valores de logaritmos vulgares o naturales y los valores de las razones trigonométricas, la inmensa mayoría no numerable, son irracionales.
El número de Gelfond (2 elevado a la raíz cuadrada de 2) es un número irracional trascendente.
la raíz cuadrada de un número natural no cuadrado perfecto es un número irracional; también lo es la raíz enésima de un natural p que no es potencia enésima perfecta.
Entre dos racionales distintos, existe por lo menos, un número irracional.
Las razones trigonométricas de un ángulo son irracionales, excepcionalmente, una de ellas en el caso de que dos de los lados del triángulo rectángulo sean racionales.
El conjunto de los números irracionales es equivalente (tienen el mismo cardinal) al conjunto de los números reales.

Clasificación de los números irracionales

Los números irracionales se clasifican en dos tipos:

Números algebraicos: Son la solución de alguna ecuación algebraica y se representan por un número finito de radicales libres o anidados en algunos casos 7 ; si "x" representa ese número, al eliminar radicales del segundo miembro mediante operaciones inversas, queda una ecuación algebraica de cierto grado. Todas las raíces no exactas de cualquier orden son irracionales algebraicos. Por ejemplo, el número áureo es una de las raíces de la ecuación algebraica \scriptstyle x^{2}-x-1=0, por lo que es un número irracional algebraico.

Números trascendentes: No pueden representarse mediante un número finito de raíces libres o anidadas; provienen de las llamadas funciones trascendentes (trigonométricas, logarítmicas y exponenciales, etc.) También surgen al escribir números decimales no periódicos al azar o con un patrón que no lleva periodo definido, respectivamente, como los dos siguientes:
0,193650278443757...
0,101001000100001...
Los números trascendentes tienen especial relevancia ya que no pueden ser solución de ninguna ecuación algebraica. Los números pi y e son irracionales trascendentes, puesto que no pueden expresarse mediante radicales.

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