| Dentro del conjunto de los números reales, el conjunto de los números naturales 1, 2, 3... ha recibido durante mucho tiempo especial atención por parte de matemáticos, tanto profesionales como aficionados. Aunque una teorìa de números debería abarcar el estudio de las propiedades de todos los números, lo cierto es que por teoría de números generalmente se entiende el estudio de los números naturales. |
Breve historia de los números naturales
Fueron sin duda los griegos los primeros que se interesaron por las propiedades de los números como tales, es decir, a indagar acerca de sus propiedades y naturaleza intrínseca. Antes de los griegos los números fueron utilizados casi exclusivamente con fines prácticos como contar y medir, o si acaso en especulaciones numerológicas a las que el mismo Pitágoras prestó mucha atención.
En efecto, aunque Pitágoras y sus discípulos estudiaron muchas de las propiedades de los números, su manera de pensar era más mística que racional, de manera que los pitagóricos les atribuían a los números toda suerte de poderes. Fue solo con la publicación de Los elementos de Euclides, hacia el año 300 a.C., que la numerología dio paso a una ciencia rigurosa.
Euclides fue el primero en presentar los hechos matemáticos junto con demostraciones válidas para estos. Tres de los trece libros de los elementos están dedicados a la teoría de números.
Después de Euclides, la teoría de los números se adormece durante 550 años hasta cuando otro matemático griego, Diofanto de Alejandría, la revive.
En el siglo XVII la teoría de números renace en Europa gracias en buena parte a los esfuerzos del abogado francés, Pierre de Fermat, un matemático aficionado que se inspiró en la obra de Diofanto. Fermat fue el primero en abordar realmente en las propiedades de los números enteros.
Después de Fermat, los nombres de Euler, Lagrange, Legendre, Gauss y Dirichlet se destacan en el desarrollo de la teoría de números. En 1798 Legendre escribió el primer texto acerca de la teoría de números y, tres años después, Gauss publicó sus Disquisitiones arithmeticae. Gauss consideraba ala teoría de números como "la reina de las matemáticas" y su obra transformó para siempre su estudio
El desarrollo posterior de la teoría de números ha sido vertiginoso. Una lista completa de los matemáticos más sobresalientes en el campo de la teoría de números durante el siglo XX es prácticamente imposible, pero de cualquier forma tendría que incluir los nombres de Godfrey H. Hardy, John E. Littlewood, Srinivasa A. Ramanujan y Paul Erdós.
Números triangulares
Pitágoras sostenía que en los números enteros como 1, 2, 3, etc., está la esencia de las cosas. Quizá por ello, él y sus seguidores buscaron propiedades curiosas de los números y trataron de relacionar formas con números, dando origen a los números triangulares, cuadrados y pentagonales.
Los números 1, 3, 6, 10, 15 y 21 se llaman números triangulares, pero no son los únicos que reciben ese nombre. En realidad hay una cantidad infinita de ellos. En la figura se muestra por qué se les da ese nombre. Como se observa, al representar esos números mediante puntos, estos se pueden disponer en la forma de un triángulo equilátero.
Los números triangulares 1, 3, 6, 10, 15, 21, etc., poseen una variedad de propiedades curiosas, algunas de las cuales se pueden deducir de sus configuraciones triangulares. Así, por ejemplo, los números triangulares pueden encontrarse sencillamente sumando todos los enteros comenzando del 1 hasta cualquier otro entero. En efecto, el cuarto número triangular, es decir 10, es igual a 1 + 2 + 3 + 4, mientras que para encontrar el décimo basta encontrar el valor de 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 o sea 55.
Cualquiera de los números triangulares se puede encontrar de esta manera, pero resulta muy dispendiosa si se quiere encontrar, por ejemplo, el millonésimo de ellos, pues significa llevar a cabo una adición de un millón de sumandos. ¿Hay alguna manera abreviada de hacerla?
Fórmula de Gauss
En una escuela de Brunswick, Alemania, en 1787 el profesor Büttner puso a sus alumnos la tarea de encontrar la suma de los números 1, 2, 3, y así hasta 100. Entre los estudiantes, el menor era un pequeño de nueve años llamado Karl Friedrich Gauss, quien, apenas Büttner terminó de enunciar el problema, entregó su pizarrón con la respuesta, mientras sus compañeros apenas comenzaban a resolverlo. La respuesta de Gauss fue la única correcta. ¿Qué truco utilizó para encontrarla en forma tan veloz?
Seguramente lo que hizo fue convertir un complicado problema de adición, en uno sencillo de multiplicación. Para ilustrar el proceso, supóngase que se deben sumar los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10 y nótese que si se coloca dos veces la suma pedida, una debajo de la otra, la segunda de ellas en orden inverso, los números sumados verticalmente suman siempre lo mismo, 11:
Es decir, como dos veces la suma pedida es igual a 10 x 11, entonces solo una vez será igual a
Es posible que la adición propuesta por Büttner hubiera sido calculada por Gauss usando este método, y así obtuvo que la suma de los primeros cien números enteros es igual a
Este número es el centésimo de los números triangulares y con este sencillo procedimiento se pueden encontrar todos los demás. En general el nésimo (léase "enésimo") número triangular es
Gauss es considerado, junto con Arquímedes y Newton, como uno de los más grandes matemáticos de todos los tiempos y se le conoce como el príncipe de las matemáticas. En su diario personal, al lado de otros importantes hallazgos, se encuentra uno directamente relacionado con los números triangulares. Gauss lo anotó taquigráficamente, como para que nadie se enterara, y se confiesa alborozado porque pudo demostrar que todo número natural se puede expresar como la suma de tres números triangulares.
Los números triangulares aparecen en varias situaciones, como cuando se trata de contar la cantidad de saludos que ocurren entre las personas que se encuentran en un mismo recinto: esa cantidad es siempre un número triangular. En efecto, en un recinto en el que se han reunido seis personas, el número de saludos que ocurren es 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15, o sea, un número triangular.
Los números triangulares son apenas una de tantas familias que hay entre los números que se usan para contar. Otras son los números primos, los números cuadrados, los números de Fibonacci (0 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89...) etc. Los matemáticos estudian sus propiedades no solamente por satisfacer su curiosidad acerca de su comportamiento, sino en busca de aplicaciones de diversa índole.
Los números felices
Dentro del conjunto infinito de los números naturales hay números con toda clase de propiedades insólitas y que reciben nombres no menos insólitos, como los perfectos, amigos o felices. Los números 32, 31, 7 y 1 son, por ejemplo, números felices. ¿Por qué?
Algún matemático descubrió que estos y otros números se pueden identificar con la identidad, es decir, que de alguna manera son como el 1, y resolvió por ello llamarlos números felices. Se puede verificar que si se toman las cifras de cada uno de estos números, se elevan todas ellas al cuadrado, se suman los resultados para obtener un nuevo número, y todo este proceso se repite con este nuevo número una suficiente cantidad de veces, entonces finalmente se llega al número 1. En efecto, partiendo de 31, ocurre lo siguiente:
31 → 32 + 12 = 10 → 12 + 02 = 1
Si el punto de partida es 32, entonces:
32 → 32 + 22 = 9 + 4 = 13 → 12 + 32 = 1 + 9 = 10 → 12 + 02 = 1
Algo similar ocurre cuando el punto de partida es 7:
7 → 72 = 49 → 42 + 92 = 16 + 81 = 97 → 92 + 72 = 81 + 49 = 130 → 12 + 32 + 02 = 1 + 9 + 0 = 10 → 12 + 02 = 1
Por lo que este proceso aplicado a estos números desemboca en la unidad, se llaman números felices. No todos los números son felices. Tómese el caso del número 2:
2 → 22 = 4 → 42 = 16 → 12 + 62 = 1 + 36 = 37 → 32 + 72 = 9 + 49 = 58 → 52 + 82 = 25 + 64 = 89 → 82 + 92 = 64 + 81 = 145 → 12 + 42 + 52 = 1 + 16 + 25 = 42 → 42 + 22 = 16 + 4 = 20 → 22 + 02 = 4 → 16 → 37 → 58 → 89 → 145 → 42 → 20 → 4 → etc.
En este caso el proceso lleva al número original 4 y a un ciclo de otros siete números que se repiten indefinidamente sin pasar por 1. Por esto el número 2 no es feliz. Tampoco lo son los números 41 y 56 en los que sucede algo parecido:
41 → 17 → 50 → 25 → 29 → 85 → 89 → 145 → 42 → 20 → 4 → etc.
56 → 61 → 37→ 58→ 89 → 145 → 42 → 20 → 4 → etc.
En ambos casos se llega al 4, y como ya se vio, del 4 se vuelve al 4. Estos números no se pueden identificar con el 1, pero sí se pueden identificar con el 4.
| Volver al índice |
