Propiedades de los números reales
| Independientemente de cómo se representen, el conjunto de todos los números, es decir, el conjunto de los números reales, satisface una serie de propiedades básicas que fueron descubiertas poco a poco a medida que las distintas clases de números que lo conforman se ganaban la confianza de los hombres. De estas propiedades básicas, o axiomas, se desprenden todas las otras propiedades de los números. |
Axiomas básicos para el conjunto de los números reales
El conjunto de los números reales, es decir, el conjunto de todos los números ya sean enteros, fraccionarios, irracionales, negativos o positivos y que normalmente se representa por ℝ, cumple una serie de propiedades básicas, llamadas axiomas. De estas propiedades se pueden deducir, mediante las herramientas de la lógica, los teoremas acerca de los números. A diferencia de los teoremas, que deben ser demostrados rigurosamente, la verdad de los axiomas se da como un hecho.
Las propiedades más importantes del conjunto ℝ de los números reales se exponen a continuación.
Propiedad clausurativa de la adición
| La suma de dos números reales es otro número real: si 54 ∈ ℝ y 36 ∈ ℝ entonces 54 + 36 = 90 ∈ ℝ |
Dados dos números reales a y b, existe un número único real, llamado la suma de a y b, que se representa por a + b. El procedimiento por medio del cual se encuentra la suma de a y b es la operación de la adición o suma.
Propiedad clausurativa de la multiplicación
| El producto de dos números reales es otro número real: si 7 ∈ ℝ y 4 ∈ ℝ entonces 7 x 4 = 28 ∈ ℝ |
Dados dos números reales a y b, existe un número único real, llamado el producto de a y b, que se representa ya sea por a. b o por a x b. El procedimiento por medio del cual se encuentra el producto de a y b es la operación de la multiplicación.
Propiedad asociativa de la adición
| Cuando se suman tres o más números reales, el resultado siempre es el mismo independientemente de su agrupamiento: 4 + (7 + 9) = (4 + 7) + 9 |
Dados tres números reales a, b y c, entonces se cumple que: a + (b + c) = (a + b) + c.
Propiedad conmutativa de la adición
| En la suma de dos o más números reales el resultado siempre es el mismo sin importar el orden de esos números reales: 31 + 79 = 79 + 31 |
Dados dos números reales a y b, entonces se cumple que: a + b = b + a
Lo que realmente se establece en esta, y la propiedad anterior, es que dada cualquier lista de números, la suma de estos se puede encontrar ordenándolos de cualquier manera. Los paréntesis se utilizan para señalar dichas agrupaciones.
Existencia de una identidad para la adición
| La suma de cualquier número real y cero es igual a ese número real: 46 + 0 = 46 |
Dentro de los números reales existe un número, el cero (), tal que para todo número real a se cumple que: a + 0 = a.
Existencia de inversos para la adición
| La suma de cualquier número real y su inverso aditivo es igual a cero (0): 81 + (-81) = 0 |
Dado cualquier número real a, existe un número real llamado el inverso aditivo de a, simbolizado por (-a), tal que: a + (-a) = 0
Esta propiedad sirve para definir la operación de la sustracción de los números reales: dados dos reales a y b, su diferencia, a - b, es el real a + (-b).
Propiedad asociativa de la multiplicación
| Cuando se multiplican tres o más números reales, el producto siempre es el mismo independientemente de su agrupamiento: 3 x (2 x 8) = (3 x 2) x 8 |
Dados tres números reales a, b y c, entonces se cumple que: a x (b x c) = (a x b) x c.
Existencia de una identidad para la multiplicación
| El producto de cualquier número real multiplicado por uno (1) es igual a ese número real: 13 x 1 = 13 |
Dentro de los números reales existe un número, el uno (1), tal que para todo número real a, se cumple que: a x 1 = a.
Existencia de los inversos para la multiplicación
| El producto de cualquier número real, diferente de cero (0), multiplicado por su inverso multiplicativo es igual uno (1): 8 x 1/8 = 8/1 x 1/8 = 1 |
Dado cualquier número real (a ≠ 0), existe un número real llamado inverso multiplicativo de a, simbolizado por 1/a, tal que a x 1/a = a/1 x 1/a = 1
Esta propiedad sirve para definir la operación de la división de dos números reales: dados dos reales a y b, su cociente , a ÷ b, es el real a x 1/b.
Propiedad conmutativa de la multiplicación
| En la multiplicación de dos números reales el producto siempre es el mismo sin importar el orden de los dos números reales: 8 x 7 = 7 x 8. |
Dados dos números reales a y b, entonces se cumple que: a x b = b x a.
Propiedad distributiva de la multiplicación
| La multiplicación de un número real por una suma de números reales es igual a la suma de las multiplicaciones de dicho número por cada uno de los sumandos: 4 x (6 + 3) = 4 x 6 + 4 x 3. |
Dados tres números reales a, b y c, entonces se cumple que: a x (b + c) = a x b + a x c.
Propiedades de orden
dentro del conjunto de los números reales ℝ existe un subconjunto de números, llamado conjunto de números positivos, ℝ+, que satisface las siguientes propiedades:
- Si a y b son números positivos entonces tanto su suma, a + b, como su producto, a x b, son positivos.
- Si a es un número real distinto de
, entonces a, o su inverso aditivo, es decir (-a), será un número positivo.
Estas tres propiedades reciben el nombre de propiedades o axiomas de orden porque son los que establecen un orden preciso dentro de los número reales. En efecto, dados dos números reales distintos cualesquiera, a y b, se dice que:
a es mayor que b, y se escribe a > b, si a - b es un número positivo:
52 - 26 = 26
Si, por el contrario, a - b es un número negativo, entonces de dice que:
a es menor que b, y se escribe a < b:
26 - 52 = (-26)
Las propiedades de orden tienen una importante consecuencia, llamada la ley de tricotomía. Dados dos números reales cualesquiera, a y b, entonces se verifica una y solo una de las siguientes relaciones:
(i) a = b
(ii) a > b
(iii) a < b
Un cuidadoso examen de las anteriores propiedades permite comprobar que se ajustan a la experiencia cotidiana de cualquier persona, con los números. A partir de ellas se pueden demostrar todas las demás propiedades de los números reales, entre ellas algunas menos evidentes como aquella de que "el producto de los números negativos es un número positivo". Provisto de estas propiedades, especialmente aquellas de orden, el conjunto de los números reales puede representarse mediante una recta, llamada recta de los números reales, o recta real:
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