Dados dos o más conjuntos es posible formar otros conjuntos tomando, de una u otra manera, los elementos de estos. Una operación entre dos conjuntos es un procedimiento bien definido para formar un tercer conjunto a partir de los elementos de esos dos. Las operaciones más importantes entre conjuntos son la unión, la intersección, la diferencia y el complemento.
Unión de conjuntos
Supóngase que se tienen dos conjuntos, A y B, y que se forma un nuevo conjunto tomando todos los elementos que pertenecen al uno y al otro. A este conjunto se le llama la unión de A y B y se escribe A ∪ B, haciendo uso del símbolo ∪ para la unión de los conjuntos. Otra forma de representar a este conjunto unión es:
A ∪ B = {x: x ∈ A o x ∈ B}
Y se lee así: A unión B es igual al conjunto de los elementos x tales que x pertenece al conjunto A o x pertenece al conjunto B. Esta es la forma habitual de representar conjuntos cuando no se puede, o no se quiere, enumerar uno por uno sus elementos.
La unión de dos conjuntos se representa en un diagrama de Venn como el de la figura 3. El rectángulo completo corresponde al conjunto universal o referencial, mientras que la parte sombreada corresponde a la unión de los dos conjuntos.
Resumiendo: la unión de dos conjuntos, A y B, simbolizada por A ∪ B, es el conjunto de todos los elementos que pertenecen al conjunto A y al conjunto B. En el conjunto resultante de la unión, los elementos repetidos deben aparecer solamente una vez pues, como se anotó arriba, los conjuntos no pueden tener elementos repetidos.
Si A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} y B = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} entonces A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
Nótese que los números 4, 5, 6, 7, que pertenecen tanto al conjunto A como al conjunto B, aparecen una sola vez en el conjunto resultante de la unión entre A y B.
La unión de los conjuntos A y B puede también definirse como el conjunto A ∪ B = {x: x ∈ A v x ∈ B}. En la figura 3, la unión de los conjuntos A y B es la parte sombreada.
Intersección de conjuntos
Dados dos conjuntos A y B, se forma el conjunto formado por los elementos que pertenecen simultáneamente a los dos conjuntos. A este conjunto se le llama la intersección de A y B, y se escribe A ∩ B, ha ciendo uso del símbolo ∩ para la intersección de los conujntos. Se tiene, por lo tanto, que:
A ∩ B = {x: x ∈ A y x ∈ B}
Y se lee así: A intersección B es igual al conjunto de los elementos x tales que x pertenece al conjunto A y x pertenece al conjunto b.
La intersección de dos conjuntos se representa en un diagrama de Venn como el de la figura 4. El rectángulo completo corresponde al conjunto universal o referencial, mientras que la parte sombreada corresponde a la intersección de los dos conjuntos.
Resumiendo: la intersección de dos conjuntos, A y B, simbolizada por A ∩ B, es el conjunto de todos los elementos que pertenecen, simultáneamente, a los conjuntos A y B.
Si A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} y B = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} entonces A ∩ B = {4, 5, 6, 7}
La intersección de los conjuntos A y B puede también definirse como el conjunto A ∩ B = {x: x ∈ A ˄ x ∈ B). En la figura 4, la intersección de los conjuntos A y B es la parte sombreada.
La unión e intersección de conjuntos satisfacen una serie de propiedades básicas que puede comprobarse, ya sea directamente o mediante un diagrama de Ven. Las siguientes son algunas de ellas:
| A ∪ A = A A ∪ ɸ = A A ∪ B = B ∪ A A ∩ A = A A ∩ ɸ = ɸ A ∩ B = B ∩ A |
Diferencia de conjuntos
Dados los conjuntos A y B se define su diferencia, escrita A - B, como el conjunto de todos aquellos elementos que pertenecen a A pero no pertenecen a B. Es decir:
A - B = {x: x ∈ A ˄ x ∉ B}
Debe observarse que los conjuntos A - B y B - A son, por lo general, diferentes.
Si A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} y B = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, entonces A - B = {1, 2, 3}, mientras que B - A = {8. 9. 10}. En las figuras 5 y 6 aparecen estas dos situaciones ilustradas.
El complemento de conjuntos
Dado el conjunto universal U y un conjunto cualquiera A, se llama complemento de A y se escribe Ac a la diferencia U - A. El complemento de un conjunto A puede definirse también como:
Ac = U - A = {x: x ∈ U ˄ x ∉ A}
y corresponde a la parte sombreada de la figura 7.
Propiedades de la diferencia y el complemento de conjuntos
Algunas de la propiedades básicas que satisfacen la diferencia y el complemento de conjuntos son las siguientes:
| A - ɸ = A A - A = ɸ A - B = A ∩ Bc A ∩ (B - A) = ɸ A ∪ B = A ∪ (B - A) Uc = ɸ ɸc = U (Ac)c = A (A ∪ B)c = Ac (A ∪ B) Bc (A ∩ B)c = Ac ∪ Bc |
La diferencia simétrica de conjuntos
Dados dos conjuntos A y B, su diferencia simétrica, escrita A Δ B, es el conjunto formado por la diferencia entre la unión y la intersección de los dos conjuntos. Es decir, A Δ B = (A ∪ B) - (A ∩ B). La diferencia simétrica de dos conjuntos es la unión de esos conjuntos excluidos aquellos elementos que pertenecen a ambos conjuntos, tal como aparece ilustrada en la figura 8.
Sus propiedades básicas son las siguientes:
| A Δ A = ɸ A Δ ɸ = A A Δ B = B Δ A A Δ A = (A ∪ B) - (A ∩ B) A Δ (B Δ C) = (A Δ B) Δ C |
Conjunto potencia
Dado un conjunto A, el conjunto potencia de A es otro conjunto formado por todos los subconjuntos posibles de A. También se le denomina conjunto de partes o conjunto de las partes, y se escribe: P(A). Se tiene entonces que:
P(A) = {x: x ⊂ A}
Y se lee así: el conjunto potencia de A es igual al conjunto de los elementos x tales que x está contenido en el conjunto A.
Ejemplo: el conjunto potencia de A = {3, 5, 7} es:
- {ɸ, {3}, {5}, {7}, {3,5}, {5,7}, {3,7}, {3,5,7}}
Propiedades:
- El conjunto potencia de cualquier conjunto contiene al menos un subconjunto.
- El conjunto vacío está en el conjunto potencia de cualquier conjunto:
- ɸ ∈ P(A), para cualquier A
- Un conjunto cualquiera siempre es un elemento de su conjunto potencia:
- A ∈ P(A), para cualquier A
- El número de elementos de un conjunto potencia es, precisamente, una potencia de base 2 y exponente n, en donde n es el número de elementos del conjunto original.
- En general, si A tiene n elementos, entonces P(A) tiene 2n elementos. En el ejemplo anterior, en donde el conjunto A tiene tres elementos:
- P(A) = 23 = 2 x 2 x 2 = 8 elementos
Lógica y temporaneidad
Quedan así expuestos los rudimentos de la teoría de los conjuntos y la lógica. Es interesante señalar que la lógica, a diferencia de otras ciencias, la física en particular, que sufrieron transformaciones sin precedentes a partir de los siglos XVII y XVIII y conformaron el mundo moderno, solamente vino a tener su sacudón vital en los siglos XIX y XX, constituyendo así lo que se llama la contemporaneidad. El complejo mundo tecnológico de hoy hubiera sido imposible sin su aporte.
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