| Sistema decimal | Sistema binario | Conversión entre sistemas de numeración |
Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos y reglas de generación que permiten construir todos los números válidos, y puede representarse así:
- N = (S,R)
donde:
- N es el sistema de numeración considerado (p.ej. decimal, binario, etc.).
- S es el conjunto de símbolos permitidos en el sistema. En el caso del sistema decimal son {0,1,...9}; en el binario son {0,1}; en el octal son {0,1,...7}; en el hexadecimal son {0,1,...9,A,B,C,D,E,F}.
- R son las reglas que nos indican qué números y qué operaciones son válidos en el sistema, y cuáles no. En un sistema de numeración posicional las reglas son bastante simples, mientras que la numeración romana requiere reglas algo más elaboradas.
Estas reglas son diferentes para cada sistema de numeración considerado, pero una regla común a todos es que para construir números válidos en un sistema de numeración determinado solo se pueden utilizar los símbolos permitidos en ese sistema.
Para indicar en qué sistema de numeración se representa una cantidad se añade como subíndice a la derecha el número de símbolos que se pueden representar en dicho sistema.:
- 50010 = 7648 = 1111101002
Sistemas de numeración no posicionales
Estos son los más antiguos, se usaban por ejemplo los dedos de la mano para representar la cantidad cinco y después se hablaba de cuántas manos se tenía. También se sabe que se usaba cuerdas con nudos para representar cantidad. Tiene mucho que ver con la coordinabilidad entre conjuntos. Entre ellos están los sistemas del antiguo Egipto, el sistema de numeración romana, y los usados en Mesoamérica por mayas, aztecas y otros pueblos.
Al igual que otras civilizaciones mesoamericanas, los mayas utilizaban un sistema de numeración de raíz mixta de base 20 (vigesimal). También los mayas preclásicos desarrollaron independientemente el concepto de cero (existen inscripciones datadas hacia el año 36 a. C. que así lo atestiguan.).
Sistemas de numeración posicionales
El número de símbolos permitidos en un sistema de numeración posicional se conoce como base del sistema de numeración. Si un sistema de numeración posicional tiene base b significa que disponemos de b símbolos diferentes para escribir los números, y que b unidades forman una unidad de orden superior.
La notación posicional es un sistema de numeración en el cual cada dígito posee un valor que depende de su posición relativa, la cual está determinada por la base, que es el número de dígitos necesarios para escribir cualquier número. Un ejemplo de numeración posicional es el habitualmente usado sistema decimal (base 10), necesitándose diez dígitos diferentes, los cuales deberán estar constituidos de un símbolo (grafema), cuyo valor en orden creciente es: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Para los números escritos en sistemas de bases menores se usan sólo los dígitos de menor valor; para los escritos con bases mayores que 10 se utilizan letras: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D...
En un sistema de numeración posicional, se le llama base al número que define el orden de magnitud en que se ve incrementada cada una de las cifras sucesivas que componen el número. Es también la cantidad de símbolos presentes en dicho sistema. Por ejemplo, el sistema de numeración decimal utiliza como base el número 10 (diez): hay 10 símbolos o dígitos, y cada uno de ellos se incrementa en un orden de magnitud de 10 por cada posición consecutiva.
Los sistemas de numeración que se usan actualmente son los posicionales.
Sistema de numeración decimal
El sistema de numeración decimal es el más utilizado en la actualidad. Se compone de diez símbolos o dígitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9) cuyo valor depende de la posición que ocupen dentro del número: unidades, decenas, centenas, millares, etc.
Si el dígito con mayor valor es nueve (9), entonces cómo representamos un valor superior a este. Tendremos que utilizar, siguiendo el orden lógico, los dos dígitos menores que, unidos, den un valor superior a nueve (9). los dígitos menores son cero (0) y uno (1), pero 01 no representan un valor superior a nueve (9), ya que 01 = 1. Pero si invertimos el orden sí tendremos un valor superior a nueve: uno y cero → 10 (diez).
Lo mismo ocurre al llegar a diecinueve (19). Tendremos que utilizar, siguiendo el orden lógico, los dos dígitos menores que representen un valor superior a 19. Como ya utilizamos la combinación uno-cero para representar diez, la combinación siguiente podría ser cero-dos (02) o dos-cero (20). Pero 02 no es superior a 19, luego debemos utilizar dos-cero → 20 (veinte). Con este mismo análisis podemos deducir las combinaciones que representen todas las decenas con sus unidades (10 → 99).
Pero ¿después de 99? Tendremos que utilizar la combinación de los tres dígitos menores que represente un valor superior. Estas combinaciones pueden ser: 001, 010 o 100. De estas tres combinaciones la única que tiene un valor superior es uno-cero-cero → 100 (cien). Así obtenemos, hasta ciento noventa y nueve (199), todas las centenas con sus decenas y sus unidades (100 → 999).
Observemos el siguiente cuadro:
| centenas de mil | decenas de mil | unidades de mil | centenas | decenas | unidades | Número |
| 9 | 9 | |||||
| 8 | 9 | 89 | ||||
| 7 | 8 | 9 | 789 | |||
| 6 | 7 | 8 | 9 | 6 789 | ||
| 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 56 789 | |
| 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 456 789 |
Para obtener el valor de cada dígito dentro de un número, se multiplica el mismo por una potencia de base 10, y un exponente igual a la posición que ocupa el dígito dentro del número, de derecha a izquierda, menos uno.
Si el número tiene parte decimal, el valor de cada dígito de esta se obtiene multiplicando el mismo por una potencia de base 10 y un exponente negativo cuyo valor absoluto es igual a la posición que ocupa el dígito, de izquierda a derecha, después de la coma, obviamente.
La base de la potencia utilizada es diez (10) por ser diez (10) la cantidad de dígitos utilizados en este sistema.
Dado el número 9 876,543 deducir del valor de cada uno de sus dígitos:
| Parte entera: | ||
| 9 → exp.: 4 - 1 = 3; valor: 9 x 103 = 9 x | 1 000 = | 9 000 |
| 8 → exp.: 3 - 1 = 2; valor: 8 x 102 = 8 x | 100 = | 800 |
| 7 → exp.: 2 - 1 = 1; valor: 7 x 101 = 7 x | 10 = | 70 |
| 6 → exp.: 1 - 1 = 0; valor: 6 x 100 = 6 x | 1 = | 6 |
| 9 876 | ||
| Parte decimal: | ||||
| 5 → exp.: -1; valor: 5 x 10-1 = 5 x 1/101 = 5 x | 1/10 = | 5 x | 0,1 = | 0,5 |
| 4 → exp.: -2; valor: 4 x 10-2 = 4 x 1/102 = 4 x | 1/100 = | 4 x | 0,01 = | 0,04 |
| 3 → exp.: -3; valor: 3 x 10-3 = 3 x 1/103 = 3 x | 1/1 000 = | 3 x | 0,001 = | 0,003 |
| 2 → exp.: -4; valor: 2 x 10-4 = 2 x 1/104 = 2 x | 1/10 000 = | 2 x | 0,0001 = | 0,0002 |
| 0,5432 | ||||
Sistema de numeración binario
El binario es un sistema de numeración en el que los números se representan utilizando solamente dos cifras cero y uno (0 y 1) a las que se otorga un valor dependiendo de la posición que ocupen dentro del número.
Si el dígito con mayor valor es uno (1), entonces cómo representamos un valor superior a este. Como ya no contamos con más dígitos debemos utilizar una combinación de los dos dígitos con que sí contamos (0 y 1) que represente el valor que sigue a uno (1).
Estas combinaciones pueden ser cero-uno (01), uno-cero (10) o uno-uno (11); como cero-uno (01) no representa un valor superior a uno (1) porque 01 = 1 , y el valor a representar es el que le sigue a este, debemos utilizar uno-cero → 10 que sí representa el valor siguiente a uno (1) en el sistema binario, y que es el equivalente a dos (2) en el sistema decimal: uno cero manzanas es la expresión binaria de dos manzanas (expresión decimal).
¿Y para representar el valor que sigue a 10? Tendremos que encontrar otra combinación de los dos únicos dígitos con que contamos (1 y 0), de entre las tres únicas posibles: 01, 10 y 11. 01 no sirve porque es igual a uno, 10 tampoco porque ya la utilizamos para representar el valor siguiente; luego no no queda sino uno-uno (11), que es el equivalente a tres (3) en el sistema decimal: uno uno manzanas es la expresión binaria de tres manzanas (expresión decimal).
¿Y para representar el valor que sigue a 11? Como ya no podemos contar con combinaciones de dos cifras, tendremos que utilizar una combinación de tres cifras (la de menor valor), que tendrá que ser con repetición por no contar sino con dos dígitos.
Las combinaciones posibles son, en orden ascendente de valor: 001, 010, 100, 101, 110 y 111. Como 001 (1) y 010 (10) ya fueron utilizadas (el cero a la izquierda en el sistema binario vale lo mismo que en el sistema decimal: nada), tomamos de, entre las cuatro restantes, la menor: 100 que equivale a cuatro (4) en el sistema decimal: uno cero cero manzanas es la expresión binaria de cuatro manzanas (expresión decimal)
¿Y para representar el valor que sigue a 100? De las combinaciones indicadas anteriormente quedan disponibles, en orden ascendente de valor: 101, 110, y 111. Tomamos 101 por ser la menor y que equivale a cinco (5) en el sistema decimal: uno cero uno manzanas es la expresión binaria de cinco manzanas (expresión decimal)...
...y así sucesivamente.
Para obtener una lista ordenada de números binarios debemos tomar como referencia el sistema decimal, que es el que utilizamos habitualmente. Un número binario se obtiene de uno decimal a partir del sistema de divisiones sucesivas por dos (2), como se indica en el siguiente cuadro en donde:
- C.F. → Cociente Final: Es el cociente de la última división, que debe ser uno (1), y será el primer dígito del número binario.
- R.F. → Residuo (resto) Final: Es el residuo (resto) de la última división, que debe ser cero (0) o uno (1), y será el segundo dígito del número binario.
- R.A. → Residuo (resto) Anterior: Son los residuos (restos) correspondientes a las divisiones anteriores, hasta llegar al arrojado por la primera división, y que serán los siguientes dígitos del número binario.
- Orden de los dígitos: El primer dígito del binario es el cociente de la última división (1). El segundo dígito, a la derecha del anterior, es el residuo (resto)de la última división (0 o 1). Y así sucesivamente se siguen tomando los residuos (restos) hasta el correspondiente a la primera división, posicionándolos uno a la derecha del otro.
| Decimal | División | R.A. | R.A. | R.A. | R.A. | R.A. | R.F. | C.F. | Binario |
| 0 | 0 | ||||||||
| 1 | 1 | ||||||||
| 2 | 2/2 = | 0 | 1 | 10 | |||||
| 3 | 3/2 = | 1 | 1 | 11 | |||||
| 4 | 4/2 = | 0 | 0 | 1 | 100 | ||||
| 5 | 5/2 = | 1 | 0 | 1 | 101 | ||||
| 6 | 6/2 = | 0 | 1 | 1 | 110 | ||||
| 7 | 7/2 = | 1 | 1 | 1 | 111 | ||||
| 8 | 8/2 = | 0 | 0 | 0 | 1 | 1000 | |||
| 9 | 9/2 = | 1 | 0 | 0 | 1 | 1001 | |||
| 10 | 10/2 = | 0 | 1 | 0 | 1 | 1010 | |||
| 50 | 50/2 = | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 110010 | |
| 100 | 100/2 = | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1100100 |
De la lista anterior tomamos como ejemplo el número binario 110010 obtenido del número decimal 50, con el sistema de divisiones sucesivas:
Conversión de decimal a binario
Para convertir un número del sistema decimal al sistema binario aplicamos el sistema de divisiones sucesivas explicado anteriormente.
Conversión de binario a decimal
Para convertir un número del sistema binario al sistema decimal se multiplica cada dígito por una potencia de base 2 y exponente igual a la posición que ocupa el dígito, de derecha a izquierda, menos uno, y se suman los productos. Ejemplo: convertir 11001002 a decimal:
| Solución: |
| 1 → exp.: 6 - 1 = 5; valor: 1 x 25 = 32 |
| 1 → exp.: 5 - 1 = 4; valor: 1 x 24 = 16 |
| 0 → exp.: 4 - 1 = 3; valor: 0 x 23 = 0 |
| 0 → exp.: 3 - 1 = 2; valor: 0 x 22 = 0 |
| 1 → exp.: 2 - 1 = 1; valor: 1 x 21 = 2 |
| 0 → exp.: 1 - 1 = 0; valor: 0 x 20 = 0 |
| 50 |
| 1100102 = 5010 |
Conversión entre sistemas de numeración
En general, para la conversión de la representación de un número de una base a otra, la forma más sencilla de hacerlo es a través de los números del sistema decimal por ser este el de mayor uso. Así pues si lo que se quiere es convertir un número representado en base b al mismo número representado en base t, lo que se hace es convertir el primero en un número de base decimal y este número se convierte en uno de base t. Estas conversiones se explican a continuación con un ejemplo.
Recordemos que la base de cada sistema de numeración indica el número de los dígitos que se utilizan:
Utilizaremos un ejemplo que sirve para cualquier conversión:
Convertir el número ternario 2120203 (base tres) en el mismo número representado en b8 (base ocho).
1- Convertimos 2120203 en un número de base decimal (b10):
Las seis cifras de las que se compone el número corresponden, de izquierda a derecha, a las cantidades de agrupaciones 243, 81, 27, 9, 3 y 1, expresadas con números decimales. Obsérvese que cada una es el triple de la siguiente (porque la base es 3). Los ceros indican que no hay agrupaciones de 9 ni de 1, mientras que los dos y el uno indican que hay dos agrupaciones de 243, una de 81, dos de 27 y dos de 3. Multiplicando cada cantidad de agrupaciones por las unidades contenidas en cada una y sumando los productos obtenemos el número equivalente decimal de 2120203 :
| 2 | x | 243 | = | 486 |
| 1 | x | 81 | = | 81 |
| 2 | x | 27 | = | 54 |
| 0 | x | 9 | = | 0 |
| 2 | x | 3 | = | 6 |
| 0 | x | 1 | = | 0 |
| 627 | ||||
Así tenemos que 2120203 = 62710
1- Ahora convertimos 62710 en un número de base ocho (b8):
Utilizamos el sistema de divisiones sucesivas, ya explicado en este artícluo, en este caso por ocho: 627/8 → cociente: 78, residuo o resto: 3; 78/8 → cociente: 9, residuo o resto: 6; 9/8 → cociente: 1, residuo o resto: 1. El número de base ocho resultante se forma con el último cociente y los residuos o restos tomados del último al primero: 1163. Entonces tenemos que: 2120203 = 62710 = 11638
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