Cálculo proposicional y teoría de conjuntos
Para evitar las contradicciones que surgen al tratar con conjuntos que se pertenecen a sí mismos, se asumirá en lo que sigue la existencia de un conjunto U llamado conjunto universal o referencial, que actúa como garante de que se está trabajando con conjuntos propios que no se pertenecen a sí mismos. Cualquiera que sea el conjunto con el cual se está trabajando, sus elementos son también elementos de U.
Proposiciones
Con el mismo ánimo de evitar contradicciones semejantes a las que surgen al considerar afirmaciones como la de Epiménides, es necesario proceder con cuidado y solo tomar como válidas aquellas afirmaciones de las que se pueda decir que son, sin ninguna ambigüedad y sin ninguna otra posibilidad, verdaderas o falsas. Las afirmaciones de este tipo se conocen como proposiciones.
Cuando una proposición es verdadera se dice que su valor de verdad es verdadero (V). En el caso contrario se dice que es falso (F).
El cálculo proposicional hace uso de los siguientes elementos:
Conectivos lógicos. Los conectivos lógicos son los signos: v, ˄, =>, v, <=>, que se leen respectivamente como o, y, implica, o exclusiva y equivale. Su función es conectar entre sí un número infinito de proposiciones.
Signos de puntuación. Los signos de puntuación son los paréntesis, (...), que sirven para asociar y para separar proposiciones.
Símbolos proposicionales. Los signos proposicionales son las letras minúsculas a, b, c, d, e, f, etc. y se usan para representar proposiciones.
Clases de proposiciones
Existen las siguientes clases de proposiciones:
Proposiciones simples. Son aquella proposiciones en las que no figura conectivo alguno. En la teoría de conjuntos, z ∈ A, es un a proposición simple que hace uso del símbolo relacional ∈ que se lee pertenece a; en otras palabras el elemento z pertenece al conjunto A. Igualmente A = B es una proposición simple en la que aparece el símbolo relacional = que se lee igual a
Proposiciones compuestas. Son aquellas proposiciones en las que figuran uno o más conectivos. La proposición p => (q ˄ r), es decir, p implica a q y a r, es una proposición compuesta.
Tablas de verdad
Una tabla de verdad, o tabla de valores de verdad, es una tabla que muestra el valor de verdad de una proposición compuesta, para cada combinación de valores de verdad que se pueda asignar a sus componentes
Negación de una proposición
Si p es una proposición, ¬p también lo es. La segunda proposición se llama la negación de p y se lee no p. Estas dos proposiciones tienen valores de verdad distintos, así que si p es verdadera, ¬p necesariamente es falsa, y si p es falsa ¬p es verdadera. Esta información se puede presentar en una tabla de verdad como la siguiente:
| Tabla 1 | |
| p | ¬p |
| V | F |
| F | V |
Por ejemplo, si p es la proposición de la teoría de conjuntos x ∈ A, es decir, el elemento x pertenece al conjunto A, entonces ¬p es la proposición x ∉ A, es decir el elemento x no pertenece al conjunto A (figura 1).
En la teoría de conjuntos la proposición x ∈ A se puede representar mediante un gráfico llamado diagrama de Venn
Un diagrama semejante puede utilizarse para representar la proposición opuesta, es decir, x ∉ A (figura 2).
En estos dos diagramas puede observarse cómo el conjunto referencial U está compuesto por aquellos elementos x para los cuales la proposición x ∈ A es verdadera, y aquellos para los cuales es falsa. Al conjunto de todas las x tales que x ∉ A se le conoce como complemento de A y se escribe A' o Ac.
Como se verá más adelante, cualquier resultado del cálculo proposicional puede traducirse en un resultado de la teoría de conjuntos.
La doble negación
Se sabe que si p es una proposición, ¬p también lo es. Es posible formar la proposición ¬(¬p), es decir la negación de la negación, o doble negación. su tabla de valores correspondiente es la siguiente:
| Tabla 2 | ||
| p | ¬p | ¬(¬p) |
| V | F | V |
| F | V | F |
El equivalente de la doble negación en la teoría de conjuntos es el complemento del complemento. Y así como, si p es verdadero entonces ¬(¬p) también lo es, en la teoría de conjuntos se cumple que (Ac)c = A, es decir el complemento del complemento de un conjunto dado, es el mismo conjunto.
El conectivo lógico v y la unión de conjuntos
Dadas dos proposiciones p y q, la proposición p v q se lee "p o q" y se rige por la siguiente tabla de verdad:
| Tabla 3 | ||
| p | q | p v q |
| V | V | V |
| V | F | V |
| F | V | V |
| F | F | F |
Es decir, la proposición p v q es verdadera cuando una de las dos proposiciones simples que la componen, p o q, es verdadera, o cuando ambas lo son. Si las dos proposiciones son falsas entonces también lo es la proposición compuesta p v q.
De otro lado, supóngase que se tienen dos conjuntos, A y B, y que se forma un nuevo conjunto tomando todos los elementos que pertenecen al uno y al otro. A este conjunto se le llama la unión de A y B y se escribe A ∪ B, haciendo uso del símbolo ∪ para la unión de conjuntos. Otra forma de representar a este conjunto unión es la siguiente:
A ∪ B = {x: x ∈ A o x: x ∈ B}
El lado derecho de esta igualdad se lee así: el conjunto de los elementos x tales que x pertenece al conjunto A o x pertenece al conjunto B. Esta es la forma habitual de representar conjuntos cuando no se puede, o no se quiere, enumerar uno por uno sus elementos.
La unión de dos conjuntos es equivalente a unir dos proposiciones mediante el conectivo v. En efecto, si p es la proposición x ∈ A y q es la proposición x ∈ B, entonces la proposición p v q es justamente la proposición x ∈ A ∪ B.
Ver: Unión de conjuntos.
El conectivo lógico ˄ y la intersección de conjuntos
Dadas dos proposiciones p y q, la proposición p ˄ q se lee "p y q" y se rige por la siguiente tabla de verdad:
| Tabla 4 | ||
| p | q | p ˄ q |
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | F |
| F | F | F |
Es decir, la proposición p ˄ q es verdadera solamente cuando las dos proposiciones que la componen son simultáneamente verdaderas. La proposición es falsa en todos los otros casos.
La relación equivalente a esta en la teoría de conjuntos, en la intersección. Dados dos conjuntos A y B, se forma el conjunto intersección, escrito A ∩ B, tomando todos los elementos que pertenecen simultáneamente a ambos conjuntos. Se tiene, por lo tanto, que:
A ∩ B = {x: x ∈ A y x ∈ B}
El lado derecho de esta igualdad se lee así: el conjunto de los elementos x tales que x pertenece al conjunto A y x pertenece al conjunto B. Esta es la forma habitual de representar conjuntos cuando no se puede, o no se quiere, enumerar uno por uno sus elementos.
La intersección de dos conjuntos es equivalente a unir dos proposiciones mediante el conectivo ˄. En efecto, si p es la proposición x ∈ A y q es la proposición x ∈ B, entonces la proposición p ˄ q es justamente la proposición x ∈ A ∩ B.
Ver: Intersección de conjuntos.
El conectivo lógico => y la contenencia de conjuntos
Dadas dos proposiciones p y q, se dice que "p implica a q" , y se escribe p => q, si siempre que p sea verdadera entonces q también lo es. La tabla de verdad de la proposición p => q es la siguiente:
| Tabla 5 | ||
| p | q | p => q |
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | V |
| F | F | V |
Debe observarse en esta tabla cómo, si se toman dos proposiciones, una falsa y otra verdadera, mediante el conectivo lógico de la implicación, la proposición resultante es verdadera. Así pues, una proposición como Si la luna es cuadrada entonces la tierra es redonda, es una proposición verdadera, ya que el consecuente la tierra es redonda es verdadero, independientemente de si el antecedente es falso.
El conectivo lógico de la implicación es equivalente a la contenencia en la teoría de conjuntos: un conjunto A se dice que está contenido en otro conjunto B, y se escribe A ⊂ B, si todo elemento del conjunto A pertenece también al conjunto B. La expresión A ⊂ B también se puede escribir B A que se lee "el conjunto B contiene al conjunto A". Obsérvese que si p es la proposición x ∈ A y q es la proposición x ∈ B, entonces la proposición p => q es verdadera si, y solo si, A ⊂ B.
Ver: Inclusión o contenencia.
El conectivo lógico Δ y la diferencia simétrica de conjuntos
Dadas dos proposiciones p y q, la proposición p v q se lee "p o q pero no ambas". Esta proposición es verdadera si, y solo si, una de las dos proposiciones es verdadera y la otra falsa. Su tabla de verdad es, por tanto, la siguiente:
| Tabla 6 | ||
| p | q | p Δ q |
| V | V | F |
| V | F | V |
| F | V | V |
| F | F | F |
Este conectivo lógico es equivalente a la diferencia simétrica de la teoría de conjuntos. Dados los conjuntos A y B, su diferencia simétrica, A Δ B, se define como el conjunto de todos los elementos que pertenecen a uno de los dos conjuntos, pero no a ambos. Esto equivale a decir que la diferencia simétrica de dos conjuntos es el conjunto de todos los elementos que se hallan en la unión de los dos conjuntos sin incluir aquellos que pertenezcan a la intersección de los dos conjuntos. Esto puede escribirse así:
A Δ B = {x: x ∈ A ∪ B pero x ∉ A ∩ B}
Obsérvese cómo, si p es la proposición x ∈ A y q es la proposición x ∈ B, entonces la proposición p <=> q es verdadera si, y solamente si, x ∈ A Δ B.
Ver: Diferencia simétrica de conjuntos.
El conectivo lógico <=> y la igualdad de conjuntos
Dadas dos proposiciones p y q, se dice que p equivale a q, y se escribe p <=> q, si la proposición p implica a la proposición q. Esta relación entre p y q se conoce también como la doble implicación. Su tabla de verdad es la siguiente:
| Tabla 7 | ||
| p | q | p <=> q |
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | F |
| F | F | V |
En la teoría de conjuntos, la relación equivalente es la igualdad de conjuntos. Dados dos conjuntos, A y B, se dice que estos son iguales si todo elemento de A es también un elemento de B y viceversa, todo elemento de de B es también un elemento de de A.
Ver: Igualdad de conjuntos.
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