El principio de inducción

La propiedad más importante de los números naturales es el llamado principio de inducción matemática:

Si A es un conjunto de números enteros tales que

1 ∈ A
si k ∈ A también k + 1 ∈ A entonces
todos los enteros mayores o iguales a 1 pertenecen a A.

La importancia del principio de la inducción matemática radica en que permite demostrar la verdad de un teorema acerca de todos los números naturales (es decir un número infinito de ellos) demostrando solamente dos cosas, que el teorema es cierto para el número natural 1, y que, si es cierto para cualquier número natural, también lo es para el siguiente.

La fortaleza del principio de inducción matemática

El principio de inducción matemática es una de las herramientas más poderosa de que se dispone para demostrar un teorema, especialmente en el campo de la teoría de números.

Una demostración por inducción consta de dos pasos. En el primero se demuestra que el resultado que se desea demostrar (generalmente un teorema acerca de los números naturales) es cierto para el caso n = 1, y en el siguiente se asume que el teorema es cierto para algún n = k y se demuestra a partir de esto que entonces el teorema también es cierto para n = k + 1. Demostrados estos dos casos el teorema queda comprobado para n = 1, 2, 3..., es decir, todos los números naturales.

El principio de inducción puede utilizarse para demostrar que la fórmula que utilizó Gauss para encontrar la suma de los primeros 100 naturales, es válida para cualquier cantidad de naturales.

Teorema. Si n es un número natural entonces:

Demostración. Se demuestra primero que el teorema es cierto para n = 1. En efecto:

A continuación se asume que el teorema es cierto para algún n = k, es decir, que:

y de esta igualdad se deduce la veracidad del teorema para el caso en que n = k + 1, es decir, que:

Para demostrar esto se toma la igualdad (1) y a ambos lados se le suma la cantidad k+1:

Ahora bien, el lado derecho de esta igualdad es equivalente al lado derecho de la igualdad (2), como puede verse a continuación:

Ha quedado así demostrado que siempre que el teorema es cierto para un cierto número natural k, también lo es para el siguiente número natural, es decir para k + 1. Como ya se había demostrado la veracidad del teorema para n = 1, puede deducirse que el teorema es cierto para todos los números naturales.

El principio de inducción matemática se conoce también como el "efecto dominó". ¿Qué se necesita para que caigan todas la fichas del dominó? Si las fichas están colocadas de tal manera que al caer cualquiera de ellas caiga también la siguiente ficha, y luego se hace caer la primera, entonces se puede estar seguro que caerán todas.