La divisibilidad

El conjunto de los números enteros es cerrado para las operaciones de la adición y la multiplicación. Esto significa que la suma de dos números enteros es otro número entero, y que el producto de dos números enteros es otro número entero.

No ocurre lo mismo con la división de dos enteros: un entero dividido por otro no siempre resulta en un entero. Pero cuando ello ocurre, es decir, cuando un entero c divide a otro entero b, como 7 divide a 42, que sí da otro entero, en este caso 6, entonces de dice que c es un divisor o un factor de b.

El símbolo c|b se lee "c divide a b" o también que "b es divisible por c". Cuando c|b, también se dice que b es múltiplo de c, o que c es factor de b. Por otro lado, cuando c ∈ ℕ es tal que c|b y c|d, se dice que c es un divisor común de b y d. Por ejemplo, 5 es un divisor común de 30 y 45. No debe confundirse el símbolo | con el símbolo de la división que suele ser una barra inclinada (/) o una barra horizontal (-).

Propiedades de la divisibilidad de los número enteros

La divisibilidad es una relación entre parejas de números enteros que cumple las siguientes propiedades básicas:

Propiedad reflexiva: n|n
Propiedad transitiva: Si d|n y n|m entonces d|m
Propiedad lineal: Si d|n y d|m entonces d|(an + bm)
Propiedad multiplicativa: Si d|n entonces ad|an
Ley cancelativa: Si ad|an y a ≠ 0, entonces d|n
1 divide a cualquier entero: 1|n
Cualquier entero divide a cero: n|0
Cero solamente divide a cero: Si 0|n entonces n = 0

De estas propiedades, la última merece una mención especial, pues su olvido frecuente por parte de los estudiantes es causa del mal genio de muchos profesores y resulta en un mensaje de error en las calculadoras. Salvo en al caso excepcional cuando el dividendo es cero, la división por cero no está definida. Esto es lo mismo a decir que está prohibida. Ello no debería sorprender a nadie: es imposible dividir una torta entre cero personas.

Criterios de divisibilidad

Un número es divisible por...	cuando...
2	termina en cifra par (0, 2, 4, 6...).
	Ejemplo: 356 → porque la última cifra (8) es par.
3	la suma de sus cifras es un múltiplo de 3.
	Ejemplo: 480 → porque 4+ 8+ 0 = 12 es múltiplo de 3.
4	a) el número formado por las dos últimas cifras es un múltiplo de 4; b) termina en doble cero; c) el resultado de sumar el doble del penúltimo dígito y el último da un múltiplo de 4.
	Ejemplo: 7324 → porque 24 es múltiplo de 4. 8200 → porque termina en 00. 5232 → porque 3x2+2=8 y 8 es múltiplo 4.
5	la última cifra es 0 o 5.
	Ejemplo: 485 → porque termina en 5.
6	es divisible por 2 y por 3 a la vez.
	Ejemplo: 18 → es divisible por 2 = 9 y por 3 = 6.
7	al separar la última cifra de la derecha, multiplicarla por 2 y restarla de las cifras restantes la diferencia es igual a 0 o es un múltiplo de 7.
	Ejemplo: 34349 → porque al separar el 9, y doblarlo (18), entonces 3434-18=3416. Repetir el proceso separando el 6 (341'6) y doblándolo (12), entonces 341-12=329, y de nuevo, 32'9, 9x2=18, entonces 32-18=14; por lo tanto, 34349 es divisible entre 7 porque 14 es múltiplo de 7.
8	a) el número formado por las tres últimas cifras es un múltiplo de 8; b) termina en tres ceros.
	Ejemplo: 27280 → porque 280 es múltiplo de 8; 13000 → porque termina en tres ceros.
9	la suma de sus cifras es múltiplo de 9.
	Ejemplo: 3744 → porque 3+7+4+4= 18 es múltiplo de 9.
10	la última cifra es 0.
	Ejemplo: 470 → termina en cifra 0.
11	a) al sumar las cifras en posición impar por un lado y las de posición par por otro, y restando ambos resultados da 0 o un múltiplo de 11; b) el número tiene sólo dos cifras y estas son iguales.
	Ejemplo: 42702 → porque 4+2+7=13, 2+0=2 y 13-2=11; 66: → porque las dos cifras son iguales.
12	es divisible por 3 y 4.
	Ejemplo: 420 → porque es divisible por 3 ya que 4+2+0=6 y por 4 puesto que 20 es divisible por 4.
13	al separar la última cifra de la derecha, multiplicarla por 9 y restarla de las cifras restantes la diferencia es igual a 0 o es un múltiplo de 13.
	Ejemplo: 3822 → separamos el último dos (382'2) y lo multiplicamos por 9, 2x9=18, entonces 382-18=364. Repetimos el proceso separando el 4 (36'4) y multiplicándolo por 9, 4x9=36, entonces 36-36=0.
14	es par y divisible entre 7.
	Ejemplo: 546 → porque al separar el último seis (54'6) y doblarlo, 6x2=12, entonces 54-12=42. 42 es múltiplo de 7 y 546 es par.
15	es divisible entre 3 y 5.
	Ejemplo: 225 → porque termina en 5 y la suma de sus cifras (9) es múltiplo de 3.
17	al separar la última cifra de la derecha, multiplicarla por 5 y restarla de las cifras restantes la diferencia es igual a 0 o es un múltiplo de 17.
	Ejemplo: 2142 → porque 214'2, 2x5=10, entonces 214-10=204, de nuevo, 20'4, 4x5=20, entonces 20-20=0.
18	es par y divisible por 9 (si es par y además la suma de sus cifras es múltiplo de 9).
	Ejemplo: 9702 → porque es par y la suma de sus cifras: 9+7+0+2=18 es divisible por 9. Y efectivamente, si hacemos la división entre 18, obtendremos que el resto es 0 y el cociente 539.
19	al separar la cifra de las unidades, multiplicarla por 2 y sumar a las cifras restantes el resultado es múltiplo de 19.
	Ejemplo: 3401 → porque al separar el 1, doblarlo (2) y sumar 340+2= 342, después separar el 2, doblarlo (4) y sumar 34+4=38 que es múltiplo de 19.
20	sus dos últimas cifras son ceros o múltiplos de 20.
	Ejemplo: 137900 → porque sus dos últimas cifras son ceros. 57860 → Porque sus 2 últimas cifras son 60, que es múltiplo de 20 (20x3=60).
29	al separar la cifra de las unidades, multiplicarla por 3 y sumar a las cifras restantes el resultado es múltiplo de 29.
	Ejemplo: 2262 → porque al separar el último 2, multiplicarlos por 3 (6) y sumarlo, 226+6= 232; después separar el último 2, multiplicarlo por 3 (6) y sumarlo 23+6=29 que es múltiplo de 29 (29x1=29).
31	al separar la cifra de las unidades, multiplicarla por 3 y restar a las cifras restantes el resultado es múltiplo de 31.
	Ejemplo: 8618 → al separar el 8, multiplicarlo por 3 (24) y restar 861-24=837; después separar el 7, multiplicarlo por 3 (21) y restar, 83-21=62 que es múltiplo de 31.