Números primos

Un número natural mayor que 1 se dice que es primo cuando el conjunto de sus divisores consiste en exactamente dos elementos: el número mismo y 1. Como se define en las matemáticas tradicionales: Número primo es aquel que solo es divisible por sí mismo y por la unidad. Por ejemplo, 17 es primo porque el conjunto de los divisores de 17 es (1, 17).

Teorema. El conjunto de los números primos es infinito.

Demostración. Supóngase que el conjunto de todos los números primos es finito. Ello significa que existe un primo más grande que todos los demás. Sea ese primo p_n. Si el conjunto de los números primos es finito entonces sería posible hacer una lista de todos ellos: p₁, p₂, p₃ ... y p_n.

Considérese ahora el número P + 1 que se obtiene de multiplicar todos los n primos entre sí y agregarle al resultado 1:

P + 1 = p₁ x p₂ x p₃ x ... x p_{n 1} + 1 .

El número P + 1 no puede ser primo, pues es mayor que p_n, el que se ha supuesto es el mayor de todos los números primos. P + 1, sin embargo, también es el producto de primos porque no es divisible por ninguno de los primos de la lista p₁, p₂, p₃, ... p_n que, según se ha supuesto, son todos los primos que hay. La razón de esto es que si un número cualquiera es divisible por otro mayor o igual que 2 (de la manera que P es el divisible por p₁, p₂, p₃, ... y p_n) entonces el número que le sigue no puede ser divisible por ese mismo número (25 es divisible por 25 , luego 26 no lo es). Como se ha dicho que todo número natural es primo o producto de primos, se ha llegado a una contradicción pues P + 1 no ni primo ni producto de primos.

Esta técnica de demostración, en la que se deduce una contradicción a partir de la negación del resultado que se quiere demostrar, recibe el nombre de reductio ad absurdum, reducción al absurdo.

El teorema fundamental de la aritmética

La importancia de los números primos radica en el llamado teorema fundamental de la aritmética, a saber, que todo número natural mayor que 1 puede expresarse como el producto de primos de una sola manera, excepto por el orden de los factores que sí puede variar.

Lo que esto significa es que dado cualquier número natural, por ejemplo 1998, no hay sino una manera de expresarlo como el producto de primos (aparte del orden en que estos se coloquen). En este caso 1998 = 2 x 3 x 3 x 3 x 3 x 37

Según el teorema fundamental de la aritmética, aparte de 2, 3 y 37 no hay otros primos que dividan a 1998.

Tampoco hay otra forma, distinta de la exhibida, de expresar a 1998 como el producto de primos a no ser que se tomen los mismos factores en distinto orden.

Propiedades de los números primos

En su escritura en el sistema de numeración decimal, todos los números primos, salvo el 2 y el 5, tiene como el guarismo de las unidades uno de estos: 1, 3, 7 ó 9. En general, en cualquier sistema de numeración, todos los números primos salvo un número finito acaban en una cifra que es coprima con la base (primos entre sí).
De lo anterior se deduce que todos los números primos salvo el 2 son de la forma 4n + 1 o bien 4n + 3. Igualmente, todos los números primos salvo el 2 y el 3 son de la forma 6n + 1 o 6n - 1.
Lema de Euclides: Si p es un número primo y divisor del producto de números enteros ab, entonces p es divisor de a o de b.
Pequeño teorema de Fermat: Si p es primo y a es algún número natural diferente de 1, entonces a^p - a es divisible por p.
Si p es primo distinto de 2 y 5, 1/p siempre es un número periódico en su representación decimal, de periodo p − 1 o un divisor de p − 1. Esto se puede deducir directamente a partir del pequeño teorema de Fermat. 1/p expresado en base q (en lugar de en base 10) tiene propiedades similares, siempre que p no sea un factor primo de q.
Teorema de Wilson: Un número natural n > 1 es primo si y solo si el factorial (n - 1)! + 1 es divisible por n. Asimismo, un número natural n > 4 es compuesto si y solo si (n - 1)! es divisible por n.
La característica de todo cuerpo es, o bien cero, o bien un número primo.
Primer teorema de Sylow: Si G es un grupo finito, p primo y pⁿ es la mayor potencia de p que divide el orden de G. Entonces, existe un subgrupo de G de orden pⁿ .
Teorema de Cauchy: Si G es un grupo finito y p es un número primo que divide al orden de G, entonces G contiene un elemento de orden p.
La constante de Copeland-Erdős 0,235711131719232931374143…, obtenida por concatenación de los números primos en el sistema decimal, es un número irracional.