Números racionales

Número racional es todo número que puede representarse como el cociente de dos números enteros o, más precisamente, un entero y un natural positivo; es decir, una fracción común a/b con numerador a y denominador b distinto de cero. El término «racional» alude a una fracción o parte de un todo. El conjunto de los números racionales se denota por que deriva de «cociente» (Quotient en varios idiomas europeos). Este conjunto de números incluye a los números enteros (Z), y es un subconjunto de los números reales (ℝ).

La escritura decimal de un número racional es, o bien un número decimal finito, o bien periódico. Esto es cierto no solo para números escritos en base 10 (sistema decimal), también lo es en base binaria, hexadecimal o cualquier otra base entera. Recíprocamente, todo número que admite una expansión finita o periódica (en cualquier base entera), es un número racional.

Un número real que no es racional, se llama número irracional; la expresión decimal de los números irracionales, a diferencia de los racionales, es infinita aperiódica.

En sentido estricto, número racional es el conjunto de todas las fracciones equivalentes a una dada; de todas ellas, se toma como representante canónico de dicho número racional a la fracción irreducible. Las fracciones equivalentes entre sí –número racional– son una clase de equivalencia, resultado de la aplicación de una relación de equivalencia sobre Z.

En resumen: Los números racionales, son el conjunto de números fraccionarios y números enteros representados por medio de fracciones.

Construcción formal

El conjunto de los números racionales puede construirse a partir del conjunto de fracciones cuyo numerador y cuyo denominador son números enteros. El conjunto de los números racionales no es directamente identificable con el conjunto de fracciones, porque a veces un número racional puede representarse por más de una fracción, por ejemplo:

Para poder definir los números racionales debe definirse cuándo dos fracciones diferentes son equivalentes y por tanto representan el mismo número racional.

Aritmética de los números racionales

Propiedades algebraicas

Suma

que es

Diferencia

La operación que a todo par de números racionales le hace corresponder su diferencia se llama resta, y se la considera operación inversa de la suma.

La multiplicación

• Inverso multiplicativo. Para todo número racional q, distinto de , existe q^-1, llamado inverso multiplicativo tal que q x q^-1 = 1

La división

• Se define el cociente de r entre s distinto de , al producto r x s^-1:

A la operación que a todo par de racionales, divisor distinto de cero, le hace corresponder su cociente, se llama división, que no es una operación totalmente definida; pero se asume que es una operación inversa de la multiplicación que resuelve la ecuación px = s, p ≠ .

A las operaciones de suma, resta, multiplicación y división se llaman operaciones racionales.

Relaciones de equivalencia y orden

Se define la equivalencia:

Los racionales positivos son todos los:

Los racionales negativos son todos los:

El orden se define así:

Equivalencias notables

Propiedades de los números racionales

El conjunto , con las propiedades de adición y multiplicación definidas más arriba, conforma un cuerpo conmutativo: el cuerpo de cocientes de los enteros .
Los racionales son el menor cuerpo con característica nula.
La clausura algebraica de , es el conjunto de los números algebraicos.
El conjunto de los números racionales es numerable, es decir que existe una biyección entre ℕ y (tienen la misma cantidad de elementos). El conjunto de los número reales no es numerable (la parte no-denombrable de los reales, la constituyen los números irracionales).
Propiedad arquimediana: el conjunto es denso en ℝ por construcción misma de ℝ; es decir, para cualquier pareja de números reales existe otro número racional situado entre ellos.