Ecuaciones de primer grado

Una ecuación de primer grado o ecuación lineal es aquella que involucra una o más variables (incógnitas) elevadas a la primera potencia, y ninguna variable (incógnita) aparece multiplicada por otra. La ecuación lineal más sencilla es la de una variable y tiene la forma general ax + b = 0. En este caso a y b son constantes y no se consideran variables. La variable es x.

Resolución de ecuaciones enteras de primer grado con una incógnita

Regla general

Se efectúan las operaciones indicadas, si las hay.
Se hace la transposición de términos, reuniendo en un miembro todos los términos que contengan la incógnita y en el otro miembro todas las cantidades conocidas.
Se reducen términos semejantes en cada miembro.
Se despeja la incógnita dividiendo cada miembro de la ecuación por el coeficiente de la incógnita.

La solución de una ecuación de primer grado con una incógnita es muy sencilla: Si ax + b = 0, entonces existe solamente un valor que puede tomar la incógnita x, así:

La constante b, que está sumando en el primer miembro, la pasamos restando al segundo miembro:
ax = 0 - b => ax = -b
Despejamos la incógnita dividiendo ambos miembros de la ecuación por a:
Luego el único valor que puede tomar la incógnita x es:

Ejemplos

Resolver la ecuación 3x - 5 = x + 3
Pasando x al primer miembro y -5 al segundo, cambiándoles los signos, tenemos:
3x - x = 3 + 5
Reduciendo términos semejantes:
2x = 8
Despejando la x, para lo cual dividimos los dos miembros de la ecuación por 2, tenemos:

Verificación
La verificación es la prueba de que el valor encontrado para la incógnita es correcto, y se realiza sustituyendo en los dos miembros de la ecuación la incógnita por el valor obtenido, y si este es correcto, la ecuación se convertirá en identidad.
Así, en el ejemplo anterior haciendo x = 4 en la ecuación tenemos:
El valor x = 4 satisface la ecuación.
Resolver la ecuación 35 - 22x + 6 - 18x = 14 - 30x + 32
Pasando -30x al primer miembro, y 35 y 6 al segundo, cambiándoles los signos, tenemos:
-22x - 18x + 30x = 14 + 32 - 35 - 6
Reduciendo términos semejantes:
-10x = 5
Dividiendo los dos miembros por -5:
Despejando x, para lo cual dividimos ambos miembros por 2:

Verificación

Resolución de ecuaciones de primer grado con signos de agrupación

Resolver la ecuación 3x - (2x - 1) = 7x - (3 - 5x) + (-x + 24)
Suprimiendo los signos de agrupación:
3x - 2x + 1 = 7x -3 + 5x - x + 24
Trasponiendo:
3x - 2x - 7x -5x + x = -3 + 24 -1
Reduciendo términos semejantes:
-10x = 20
Despejando la x, para lo cual dividimos los dos miembros de la ecuación por -10:

Resolver 5x + {-2x + (-x + 6)} = 18 - {-(7x + 6) - (3x - 24)}
Suprimiendo los paréntesis interiores:
5x + {-2x - x + 6} = 18 - {-7x -6 - 3x + 24}
Suprimiendo las llaves
5x - 2x - x + 6 = 18 + 7x + 6 + 3x - 24
Transponiendo:
5x - 2x - x - 7x - 3x = 18 + 6 - 24 - 6
Reduciendo términos semejantes y multiplicando ambos miembros por -1:
-8x = -6 => (-8x)(-1) = (-6)(-1) => 8x = 6
Despejando la x y simplificando:

Resolución de ecuaciones enteras de primer grado con productos indicados

Resolver la ecuación 10(x - 9) - 9(5 - 6x) = 2(4x - 1) + 5(1 + 2x)
Efectuando los productos indicados:
10x - 90 - 45 + 54x = 8x - 2 + 5 + 10X
Suprimiendo 10x en ambos miembros por ser cantidades iguales con signos iguales en distintos miembros, queda:
-90 - 45 + 54x = 8x - 2 + 5
Transponiendo términos:
54x - 8x = -2 + 5 + 90 + 45
Reduciendo términos semejantes:
46x = 138
Despejando la x, para lo cual dividimos los dos miembros de la ecuación por el coeficiente de x, que es 46:

Resolver 4x - (2x + 3)(3x - 5) = 49 - (6x - 1)(x - 2)
Efectuando los productos indicados:
(2x + 3)(3x - 5) = 6x² + 9x -10x - 15 = 6x² - x - 15
(6x - 1)(x - 2) = 6x² - x -12x + 2 = 6x² - 13x +2
Reemplazando los productos indicados por los productos efectuados (los productos indicados conforman, cada uno, un término de la ecuación, por eso el resultado de cada uno de ellos debe ir entre paréntesis precedido por el mismo signo que precede al correspondiente producto indicado) la ecuación queda así:
4x - (6x² - x - 15) = 49 - (6x² - 13x +2)
Suprimiendo los paréntesis (el signo menos delante de ellos indica que se debe cambiar el signo a cada uno de los términos):
4x - 6x² + x + 15 = 49 - 6x² + 13x - 2
Transponiendo:
4x - 6x² + 6x² + x - 13x = 49 - 15 - 2
Reduciendo términos semejantes
-8x = 32
Despejando la x, para lo cual dividimos los dos miembros de la ecuación por el coeficiente de x, que es -8:

Resolver (x + 1)(x - 2) - (4x - 1)(3x + 5) - 6 = 8x - 11(x - 3)(x + 7)
Efectuando los productos indicados:
(x + 1)(x - 2) = x² + x - 2x - 2
(4x - 1)(3x + 5) = 12x² - 3x + 20x -5
-11(x - 3)(x + 7) = (-11x + 33)(x + 7) = -11x² + 33x - 77x + 231
Reemplazando los productos indicados por los productos efectuados:
(x² + x - 2x - 2) - (12x² - 3x + 20x -5) - 6 = 8x (-11x² + 33x - 77x + 231)
Suprimiendo los paréntesis:
x² + x - 2x - 2 - 12x² + 3x - 20x + 5 - 6 = 8x - 11x² + 33x - 77x + 231
Transponiendo:
x² + x - 2x -12x² + 3x - 20x - 8x + 11x² - 33x + 77x = 231 + 2 - 5 + 6
Reduciendo términos semejantes:
18x = 234
Despejando la x:
Resolver (3x - 1)² - 3 (2x + 3)² + 42 = 2x(-x - 5) - (x - 1)²
Desarrollando los cuadrados de los binomios:
9x² - 6x + 1 - 3(4x² + 12x + 9) + 42 = 2x(- x - 5) - (x² - 2x + 1)
Suprimiendo los paréntesis:
9x² - 6x + 1 - 12x² - 36x - 27 + 42 = -2x² - 10x - x² + 2x - 1
Transponiendo:
-6x -36x + 10x - 2x = -1 - 1 + 27 - 42
Reduciendo términos generales:
-34x = -17
Multiplicando ambos miembros por -1:
34x = 17
Despejando la x: