Una ecuación es una pareja de expresiones algebraicas entre las cuales se establece una relación de igualdad. Son ecuaciones, por ejemplo:
- 3x + 2y = 28
- 7a2 + ab - 2bc = 10
- 3x = z
Las ecuaciones pueden ser de muy diversos tipos según el número de variables involucradas y las operaciones aritméticas que ocurran entre ellas.
Una variable en una ecuación es la cantidad desconocida y susceptible de tomar distintos valores; se representa con las últimas letras del elfabeto, como x, y, z, y se denomina incógnita.
Constante en una ecuación es un valor fijo representado con números, o con las primeras letras del alfabeto, como a, b, c, cuando es indeterminado.
Coeficiente de una incógnita es el número que la multiplica y que está a la izquierda de la misma. Ejemplo, en el término 5x el coeficiente es 5. Cuando la incógnita está sola el coeficiente está implícito y es 1 ya que toda cantidad multiplicada por uno es igual a la misma cantidad.
Identidad
Identidad es una igualdad que se verifica para cualesquiera valores de las letras que entran en ella. Así,
(a - b)2 = (a - b)(a - b)
a2 - m2 = (a + m)(a - m)
son identidades porque se verifican para cualesquiera de las letras a y b en el primer ejemplo, y de las letras a y m en el segundo ejemplo.
El signo de identidad es =, que se lee idéntico a. Así, la identidad de (x + y)2 con x2 + 2xy + y2 se escribe
(x + y)2 = x2 + 2xy + y2
y se lee (x + y)2 idéntico a x2 + 2xy + y2.
Miembros de una ecuación
Se denomina miembro de una ecuación a cada una de las expresiones que conforman la igualdad. Así, en la ecuación ax + b = c → ax + b es el primer miembro y c es el segundo miembro.
Términos de una ecuación
Los términos de una ecuación son cada una de las cantidades que están conectadas con otra por el signo más (+) o el signo menos (-). Así, en la ecuación 3x - 5 = 2x - 3 → los términos son 3x, -5, 2x y -3.
Clases de ecuaciones
Ecuación numérica: es aquella que no tiene más letras que las incógnitas. Ejemplo:
Ecuación literal: es aquella que, además de las incógnitas, tiene otras letras (constantes) que representas cantidades conocidas. Ejemplo:
Ecuación entera: es aquella en la que ninguno de los términos tiene denominador como en los ejemplos anteriores.
Ecuación fraccionaria: es aquella en la que uno, algunos o todos sus términos tienen denominador. Ejemplo:
Grado de una ecuación
El grado de una ecuación está determinado por el mayor exponente que tiene la incógnita, si es una, o cualquiera de las incógnitas si son varias. Ejemplos:
7x - 6 = 6x + 1
es una ecuación de primer grado porque el mayor exponente de x es 1. Las ecuaciones de primer grado se llaman simples o lineales.
2x + 7y2 = 64
es una ecuación de segundo grado porque, de las dos incógnitas que tiene, la de mayor exponente es y (exponente 2).
Raíces o soluciones
Raíces o soluciones de una ecuación son los valores de las incógnitas que satisfacen la ecuación, es decir, que reemplazando a las incógnitas convierte la ecuación en identidad. Así, en la ecuación
7x - 6 = 6x + 1
la raíz es 7 porque reemplazando la incógnita x por el valor 7 resulta:
7 (7) - 6 = 6 (7) +1 => 49 - 6 = 42 + 1 => 43 = 43
estableciéndose una identidad; luego 7 satisface la ecuación.
La igualdad de Euclides
La relación involucrada en una ecuación es la de igualdad. Euclides, en Los elementos, formula las maneras de manejar una igualdad y las presenta como nociones comunes:
- Objetos iguales a uno y el mismo son iguales entre sí.
- Si a cantidades iguales se añaden otras iguales, los totales son iguales.
- Si a cantidades iguales se quitan otras iguales, los restantes son iguales.
Al convertir estas nociones comunes al lenguaje simbólico del álgebra se pueden sintetizar en solo dos:
- Si a, b y c son números reales tales que a = c y b = c, entonces a = b.
- Si a, b y c son números reales y a = b, entonces a + c = b + c.
- Si a, b y c son números reales y a = b, entonces ac = bc.
Sin embargo estas nociones comunes de Euclides deben complementarse con una adicional:
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