Resolver una ecuación es hallar sus raíces, o sea el valor o los valores de las incógnitas que satisfacen la ecuación. En otras palabras, resolver una ecuación es encontrar los valores que pueden tomar las variables que ocurren en ella para que la ecuación se convierta en una proposición verdadera o identidad. En el proceso de resolver una ecuación con frecuencia es necesario transformarla en otra ecuación más sencilla mediante la aplicación de una o varias de las reglas anteriores.
Axioma fundamental de las ecuaciones
Si con cantidades iguales se verifican operaciones iguales los resultados son iguales.
Reglas que se derivan de este axioma
- Si a los dos miembros de una ecuación se suma una misma cantidad, positiva o negativa, la igualdad subsiste.
- Si a los dos miembros de una ecuación se resta una misma cantidad, positiva o negativa, la igualdad subsiste.
- Si los dos miembros de una ecuación se multiplican por una misma cantidad, positiva o negativa, la igualdad subsiste.
- Si los dos miembros de una ecuación se dividen por una misma cantidad, positiva o negativa, la igualdad subsiste.
- Si los dos miembros de una ecuación se se elevan a una misma potencia o si a los dos miembros se extrae la misma raíz, la igualdad subsiste.
Transposición de términos
La transposición de términos consiste en cambiar los términos de una ecuación de un miembro al otro teniendo en cuenta la siguiente regla: Cualquier término de una ecuación se puede pasar de un miembro a otro cambiándole el signo. En efecto:
1) Sea la ecuación 5x = 2a - b.
Sumando b a los dos miembros de la ecuación la igualdad subsiste (regla 1), y tendremos:
5x + b = 2a - b + b
y como - b + b = 0, queda:
5x + b = 2a
donde vemos que - b que estaba en el segundo miembro de la ecuación dada, ha pasado al primer miembro con signo +.
2) Sea la ecuación 3x + b = 2a
Restando b a los dos miembros de la ecuación, la igualdad subsiste (regla 2), y tendremos:
3x + b - b = 2a - b
y como b - b = 0, queda:
3x = 2a - b
donde vemos que + b, que estaba en el primer miembro de la ecuación dada, ha pasado al segundo miembro con signo -.
Términos repetidos
Si un término está repetido en los dos miembros de una ecuación, y con el mismo signo, esos términos pueden suprimirse. Ejemplo, en la ecuación
3x + 2b = 4a + 2b
el término 2b, con el signo +, está en ambos miembros. Ese término se puede suprimir en ambos miembros, es decir, se puede restar en ambos miembros y la igualdad subsiste (regla 2):
3x + 2b - 2b = 4a + 2b - 2b
y como 2b - 2b = 0, entonces
3x = 4a
Cambio de signos
Los signos de todos los términos de una ecuación se pueden cambiar sin que la ecuación varíe, porque equivale a multiplicar por -1 los dos miembros de la ecuación, lo cual no varía la ecuación (regla 3). Ejemplo, en la ecuación
5x - 4 = -2x + 7
multiplicamos ambos miembros por -1:
(5x - 4)(-1) = (-2x + 7)(-1)
para lo cual multiplicamos todos los términos por -1:
(5x)(-1) - (- 4)(-1) = (-2x)(-1) + 7(-1)
=> -5x + 4 = 2x - 7
obteniendo así la ecuación dada con los signos de todos sus términos cambiados.
Despejar incógnita
Despejar una incógnita es separarla de los demás términos del miembro de la ecuación en el que se encuentra, efectuando las transposiciones necesarias, y eliminar su coeficiente dividiendo los miembros de la ecuación por ese coeficiente. Ejemplo:
Despejar la incógnita en la ecuación 4x + 12 = 24
- Pasamos el 12 con signo negativo al segundo miembro de la ecuación:
4x = 24 - 12 - Dividimos los dos miembros de la ecuación por el coeficiente de la incógnita, que es 4:
- Como cuatro dividido por cuatro es igual a uno, tenemos la incógnita despejada:
- Y para acabar de resolver la ecuación efectuamos las operaciones indicadas:
| Volver al índice |
