Multiplicación de polinomios

Para multiplicar polinomios debemos recordar la regla de los signos:

• La multiplicación entre dos números del mismo signo da un resultado (producto) positivo:

  (+) x (+) = (+) → más por más igual a más
  (-) x (-) = (+) → menos por menos igual a más

• y la multiplicación entres dos números de diferente signo da un resultado (producto) negativo:

  (+) x (-) → más por menos igual a menos
  (-) x (+) → menos por más igual a menos

Veamos con un ejemplo el procedimiento para multiplicar polinomios:

P(x) = 3x² + 5x³ - 4x
Q(x) = 4x⁵ - 6x⁴ + 7x⁶

P(x) x Q(x) = (3x² + 5x³ - 4x)(4x⁵ - 6x⁴ + 7x⁶)

1. Organizamos los términos de los polinomios en orden descendente en relación con los exponentes:

   (5x³ + 3x² - 4x)(7x⁶ + 4x⁵ - 6x⁴)

2. Multiplicamos cada término del primer polinomio (multiplicando) por todos los términos del segundo polinomio (mutiplicador), teniendo en cuenta la regla de los signos, y sumamos los términos semejantes de los productos obtenidos:

     5x³ (7x⁶ + 4x⁵ - 6x⁴) = 35x⁹ + 20x⁸  - 30x⁷
     3x² (7x⁶ + 4x⁵ - 6x⁴) =         + 21x⁸ + 12x⁷ - 18x⁶
   - 4x (7x⁶ + 4x⁵ - 6x⁴) =                      - 28x⁷ - 16x⁶ + 24x⁵
                P(x) x Q(x) =  35x⁹ + 41x⁸  - 46x⁷ - 34x⁶ + 24x⁵

   también podemos hacer lo contrario: multiplicar cada término del segundo polinomio (multiplicador) por todos los términos del primer polinomio (multiplicando), teniendo en cuen ta la regla de los signos, y sumamos los términos semejantes de los productos obtenidos:

     7x⁶ (5x³ + 3x² - 4x) = 35x⁹ + 21x⁸  - 28x⁷
     4x⁵ (5x³ + 3x² - 4x) =         + 20x⁸ + 12x⁷ - 16x⁶
   - 6x⁴ (5x³ + 3x² - 4x) =                    - 30x⁷ - 18x⁶ + 24x⁵
                P(x) x Q(x) = 35x⁹ + 41x⁸ - 46x⁷ - 34x⁶ + 24x⁵

o también podemos aplicar el formato utilizado en aritmética para multiplicar números naturales: ponemos el polinomio multipicador debajo del polinomio multiplicando y multiplicamos cada uno de los términos del primero por todos los términos del segundo, teniendo en cuenta la regla de los signos, y sumamos los términos semejantes de los productos obtenidos:

                            5x³ + 3x² - 4x
                      x    7x⁶ + 4x⁵ - 6x⁴
                    - 30x⁷ - 18x⁶ + 24x⁵
           20x⁸ + 12x⁷ - 16x⁶
35x⁹ + 21x⁸  - 28x⁷                    
35x⁹ + 41x⁸ - 46x⁷ - 34x⁶ + 24x⁵ = P(x) x Q(x)

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