Factorización, caso 1

Todos los términos de un polinomio tienen un factor común

a) Factor común monomio

1. Descomponer en factores a² + 2a
   Los factores a² y 2a tienen en común el factor a. Escribimos este factor común como coeficiente de un paréntesis, y dentro del paréntesis escribimos los cocientes de dividir a² ÷ a = a y 2a ÷ a = 2, y tenemos: a² + 2a = a(a + 2)



2. Factorizar 10b - 30ab²
   Factores de los coeficientes:
   de 10: 1, 2, 5 y 10 porque 1 x 2 x 5 = 10 y 1 x 10 = 10
   de 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 y 30 porque 1 x 2 x 3 x 5 = 30, 5 x 6 = 30, 3 x 10 = 30, 2 x 15 = 30 y  1 x 30 = 30
   y los factores comunes, es decir, los que son factores de ambos números son: 1, 2, 5 y 10.
   Como entre los coeficientes siempre se saca el mayor factor común, entonces tomamos el 10.
   Factores de las letras:
   De las letras el único factor común es b, con su menor exponente, porque está en los dos términos de la expresión dada.
   Siendo 10 el factor común del coeficiente, y b el factor común de las letras, el factor común de la expresión (binomio) será 10b.
   Escribimos el factor común 10b como coeficiente de un paréntesis, y dentro del mismo los cocientes de dividir, entre este factor común, cada uno de los términos de la expresión dada:
   10b ÷ 10b = 1 y -30ab² ÷ 10b = -3ab
   y tenemos la expresión dada descompuesta en factores:

   10b - 30ab² = 10b(1 - 3ab)



3. Descomponer 10a² - 5a - 15a³
   Factores de los coeficientes:
   de 10: 1, 2, 5 y 10 porque 1 x 2 x 5 = 10 y 1 x 10 = 10
   de 5: 1 y 5 porque 1 x 5 = 5
   de 15: 1, 3, 5 y 15 porque 1 x 3 x 5 = 15 y 1 x 15 = 15
   Factores comunes: 1 y 5. Tomamos el 5 por ser el mayor.
   Factores de las letras:
   De las letras el único factor común es a, con su menor exponente, porque está en todos los términos del polinomio dado.
   Siendo 5 el factor común del coeficiente, y a el factor común de las letras, el factor común del polinomio será 5a.
   Escribimos el factor común 5a como coeficiente de un paréntesis, y dentro del mismo los cocientes de dividir, entre este factor común, cada uno de los términos del polinomio dado:
   10a² ÷ 5a = 2a, -5a ÷ 5a = -1 y 15a³ ÷ 5a = 3a²
   y tenemos el polinomio dado descompuesto en factores:

   10a² - 5a - 15a³ = 5a(2a - 1 + 3a²)

En los dos ejercicios anteriores podemos darnos cuenta que: Los factores de los coeficientes son los divisores de los mismos, es decir, los números que los dividen sin dejar resto o residuo. Los factores comunes son los números que son divisores de todos los coeficientes, o sea, los divisores comunes. El factor común que se toma es el mayor, es decir, el máximo común divisor Entonces: para sacar el factor común de los coeficientes sacamos el máximo común divisor de los mismos (Ver: Máximo común divisor).




4. Descomponer 18mxy² - 54m²x²y² + 36my²
   Sacando el máximo común divisor de los coeficientes tenemos el factor común 18my², y los cocientes de dividir este factor común entre este cada uno de los términos del polinomio dado: x - 3mx² + 2, tenemos el polinomio descompuesto en factores:

   18mxy² - 54m²x²y² + 36my² = 18my²(x - 3mx² + 2)



5. Factorizar 6xy³ - 9nx²y³ + 12nx³y³ - 3n²x⁴y³
   Sacando el máximo común divisor de los coeficientes tenemos el factor común 3xy³, y los cocientes de dividir este factor común entre este cada uno de los términos del polinomio dado: 2 - 3nx + 4nx² - n²x³, tenemos el polinomio descompuesto en factores:

   6xy³ - 9nx²y³ + 12nx³y³ - 3n²x⁴y³ = 3xy³(2 - 3nx + 4nx² - n²x³)

 

b) Factor común polinomio

1. Descomponer en factores x(a + b) + m(a + b)
   Los dos términos de esta expresión tienen como factor común el binomio (a + b).
   Escribimos (a + b) como coeficiente de un paréntesis, y dentro del paréntesis los cocientes de dividir cada uno de los dos términos de la expresión dada entre el factor común (a + b):
   x(a + b) ÷ (a + b) = x  y  m(a + b) ÷ (a + b) = m, y tenemos la expresión descompuesta en factores:

   x(a + b) + m(a + b) = (a + b)(x + m)



2. Descomponer 2x(a - 1) - y(a - 1)
   El factor común, que es (a - 1), será el coeficiente del paréntesis dentro del cual escribimos los cocientes de dividir cada uno de los dos términos de la expresión dada entre el factor común (a - 1):
   2x(a - 1) ÷ (a - 1) = 2x  y  -y(a - 1) ÷ (a - 1) = -y,  y tenemos la expresión factorizada:

   2x(a - 1) - y(a - 1) = (a - 1)(2x - y)



3. Factorizar m(x + 2) + x + 2
   Si, como en esta expresión, no hay un factor común visible, lo adecuamos sin alterar la expresión. Aquí podemos poner entre un paréntesis los dos últimos términos de la expresión, con un coeficiente +1, quedando así: m(x + 2) + x + 2 = m(x + 2) + 1(x + 2) Ahora sí tenemos el factor común (x + 2) que, en la expresión factorizada, será el coeficiente de un paréntesis dentro del cual ponemos los cocientes de dividir cada uno de los términos de la expresión, entre este factor común:
   m(x + 2) ÷ (x + 2) = m,  y  1(x + 2) ÷ (x + 2) = 1  y tenemos:

   m(x + 2) + 1(x + 2) = (x + 2)(m + 1)



4. Descomponer a(x + 1) - x - 1
   Para sacar un factor común introducimos los dos últimos términos, con signos positivos, dentro de un paréntesis precedido del signo menos, lo cual no altera la expresión: a(x + 1) - x - 1 = a(x + 1) - 1(x + 1)y así obtenemos el factor común (x + 1), entre el cual dividimos cada uno de los términos de la expresión, cuyos cocientes irán dentro de un paréntesis del que será coeficiente el factor común obtenido, y tenemos la expresión factorizada:

   a(x + 1) - 1(x + 1) = (x + 1)(a - 1)



5. Factorizar (x + 2)(x - 1) - (x - 1)(x - 3)
   Dividiendo los dos términos entre el factor común (x - 1):
   
   Entonces el factor común pasa a ser coeficiente de una llave dentro de la cual introducimos los cocientes obtenidos. Y de esta forma obtenemos la expresión dada descompuesta en factores:

   (x + 2)(x - 1) - (x - 1)(x - 3) = (x - 1)[(x + 2) - (x - 3)] = (x - 1)(x + 2 - x + 3) = (x - 1)(5) = 5(x - 1)

Factorización

Caso 2