Factorización, caso 2

Factor común por agrupación de términos

  1. Factorizar ax + bx + ay + by

    a) Podemos agrupar en un apréntesis los dos primeros términos porque tienen el factor común x, y en otro paréntesis los dos últimos términos porque tienen el factor común y; el segundo paréntesis precedido del signo más (+) porque es el signo que tiene el tercer término, y tenemos:
    ax + bx + ay + by = (ax + bx) + (ay + by).

    b) Como x  y  y son factores comunes de los dos primeros y los dos últimos términos, respectivamente, podemos dejarlos como coeficientes de los respectivos paréntesis, resultando que:
    (ax + bx) + (ay + by) = x(a + b) + y(a + b).

    c) Y siendo (a + b) factor común de x y de y, podemos dividir cada término por dicho factor común:
    x(a + b) ÷ (a + b) = x  y   y(a + b) ÷ (a + b) = y.

    d) Ponemos el factor común como coeficiente del paréntesis dentro del cual ponemos los cocientes obtenidos, y tenemos:

    (a + b)(x + y) ← Polinomio factorizado

    Generalmente la agrupación puede hacerse de varias formas, con las siguientes condiciones:

    1. Que los dos términos que se agrupan tengan algún factor común, y
    2. Que las cantidades que queden dentro del paréntesis, después de sacar el factor común en cada grupo, sean exactamente iguales.
    Si no se dan las condiciones anteriores, la expresión dada no se puede descomponer por este método.

    Así, en el ejemplo anterior podemos agrupar los término 1º y 3º que tienen el factor común a, y los términos 2º y 4º que tienen el factor común b. Veamos:

    ax + bx + ay + by = (ax + ay) + (bx + by)
                                = a(x + y) + b(x + y)
                                = (x + y)(a + b)

    Resultado idéntico al anterior ya que el orden de los factores no altera el producto.

  2. Factorizar 3m2 - 6mn + 4m - 8n

    a) Agrupamos en sendos paréntesis los dos primeros y los dos últimos términos ya que tienen, respectivamente, los factores comunes 3m y 4:
    3m2 - 6mn + 4m - 8n = (3m2 - 6mn) + (4m - 8n)

    b) Sacamos de los paréntesis los factores comunes y los ponemos como coeficientes, cada uno de su respectivo paréntesis:
    (3m2 - 6mn) + (4m - 8n) = 3m(m - 2n) + 4(m - 2n)

    c) Dividimos cada término por el factor común:
    3m(m - 2n) ÷ (m - 2n) = 3m, 4(m - 2n) ÷ (m - 2n) = 4

    d) Ponemos el factor común como coeficiente del paréntesis dentro del cual ponemos los cocientes obtenidos, y tenemos:

    (m - 2n)(3m + 4) ← Polinomio factorizado

  3. Factorizar 2x2 - 3xy - 4x + 6y

    a) Agrupamos los dos primeros términos que tienen el factor común x, y los dos últimos términos que tienen el factor común 2, pero estos últimos, cambiándoles el signo, dentro de un paréntesis precedido por el signo menos (-) ya que el tercer término tiene ese signo;
    b) sacamos de los paréntesis los factores comunes y los ponemos como coeficientes, cada uno de su respectivo paréntesis;
    c) dividimos cada término por el factor común; y
    d) ponemos el factor común como coeficiente del paréntesis dentro del cual ponemos los cocientes obtenidos:

    a) 2x2 - 3xy - 4x + 6y= (2x2 - 3xy) - (4x - 6y)
    b) = x(2x - 3y) - 2(2x - 3y)
    c) x(2x - 3y) ÷ (2x - 3y) = x, -2(2x - 3y) ÷ (2x - 3y) = -2
    d) = (2x - 3y)(x - 2) ← Polinomio factorizado

      Otra forma de factorizar este polinomio es agrupando los términos 1º y 3º que tienen el factor común 2x; y los términos 2º y 4º que tienen el factor común 3y:
    a) 2x2 - 3xy - 4x + 6y= (2x2 - 4x) - (3xy - 6y)
    b) = 2x(x - 2) - 3y(x - 2)
    c) 2x(x - 2) ÷ (x - 2) = 2x, -3y(x - 2) ÷ (x - 2) = -3y
    d) = (x - 2)(2x - 3y) ← Polinomio factorizado

  4. Factorizar 3ax - 3x + 4y - 4ay

    5. a) 3ax - 3x + 4y - 4ay= (3ax - 3x) + (4y - 4ay)
    b) = 3x(a - 1) + 4y(1 - a) = 3x(a - 1) - 4y(a - 1)
    c) 3x(a - 1) ÷ (a - 1) = 3x, -4y(a - 1) ÷ (a - 1) = -4y
    d) = (a - 1)(3x - 4y) ← Polinomio factorizado

    Nótese que en la línea b) los binomios (a - 1) y (1 - a) tienen los signos diferentes; para hacerlos iguales y poder obtener el factor común, cambiamos los signos de (1 - a) convirtiéndolo en (a - 1), pero para que el producto 4y(1 - a) no se altere le cambiamos el signo al factor 4y convirtiéndolo en -4y. De esta manera, como hemos cambiado los signos de los dos factores, el producto 4y(1 - a) no se altera.

    Agrupando 1º con 4º y 2º con 3º:

    a) 3ax - 3x + 4y - 4ay= (3ax - 4ay) - (3y - 4y)
    b) = a(3x - 4y) - (3y - 4y)
    c) a(3x - 4y) ÷ (3x - 4y) = a, (3x - 4y) ÷ (3x - 4y) = 1
    d) = (3x - 4y)(a - 1) ← Polinomio factorizado


  5. Factorizar a2x - ax2 - 2a2y + 2axy + x3 - 2x2y

    a) Agrupando los términos así: 1º con 3º, 2º con 4º y 5º con 6º:

    a2x - ax2 - 2a2y + 2axy + x3 - 2x2y= (a2x - 2a2y) - (ax2 - 2axy) + (x3 - 2x2y)
    = a2(x - 2y) - ax(x - 2y) + x2(x - 2y)
    = (x - 2y)(a2 - ax + x2) ← Polinomio factorizado

    b) Agrupando los términos así: 1º con 2º y con 5º, 3º con 4º y con 6º:

    a2x - ax2 - 2a2y + 2axy + x3 - 2x2y= (a2x - ax2 + x3) - (2a2y - 2axy + 2x2y)
    = x(a2 - ax + x2) - 2y(a2 - ax + x2)
    = (a2 - ax + x2)(x - 2y) ← Polinomio factorizado
Caso 1
Caso 3
Compartir en: