Factorización, caso 3

Trinomio cuadrado perfecto

Una cantidad es cuadrado perfecto cuando es el cuadrado de otra cantidad, o sea, cuando es el producto de otra cantidad multiplicada por sí misma. Ejemplo:
9a2 es cuadrado perfecto porque es el cuadrado de 3a.
En efecto: (3a)2 = 3a x 3a = 9a2, y 3a que multiplicada por sí misma da 9a2, es la raíz cuadrada de 9a2.
Obsérvese que (-3a)2 = (-3a) x (-3a) = 9a2; luego -3a es también raíz cuadrada de 9a2.
Lo anterior nos dice que la raíz cuadrada de una cantidad positiva tiene dos signos: + y -.
En este capítulo no referiremos a la raíz positiva.

 

Raíz cuadrada de un monomio

Para extraer la raíz cuadrada de un monomio se extrae la raíz cuadrada de su coeficiente y se divide el exponente de cada letra entre 2. Ejemplo:
La raíz cuadrada de 9a2b4 es 3ab2 porque (3ab2)2 = 3ab2 x 3ab2 = 9a2b4.
La raíz cuadrada de 36x6y8 es 6x3y4 porque (6x3y4)2 = 6x3y4 x 6x3y4 = 36x6y8.
Un trinomio es cuadrado perfecto cuando es el cuadrado de un binomio, o sea, cuando es el producto de un binomio multiplicado por sí mismo. Ejemplo:
a2 + 2ab + b2 es cuadrado perfecto porque es el cuadrado de a + b.
En efecto:
(a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + 2ab + b2.
Del mismo modo:
(2x + 3y)2 = 4x2 + 12xy + 9y2, luego 4x2 + 12xy + 9y2 es un trinomio cuadrado perfecto.

Regla para saber si un trinomio es cuadrado perfecto

Un trinomio ordenado en relación con una letra es cuadrado perfecto si cumple la siguientes condiciones:
  1. Que el primero y el tercer términos sean cuadrados perfectos y positivos, y
  2. Que el segundo término sea el doble del producto de las raíces cuadradas de esos cuadrados perfectos.
Así, a2 - 4ab + 4b2 es cuadrado perfecto porque:
Primer término: a2, que es cuadrado de a
Tercer término: 4b2, que es cuadrado de 2b
Segundo término: 4ab, que es el doble producto de a x 2b, raíces cuadradas de a2 y 4b2.

Mientras que:
36x2 - 18xy4 + 4y8, no es cuadrado perfecto porque:
Primer término: 36x2, que es el cuadrado de 6x
Tercer término: 4y8, que es el cuadrado de de 2y4
Segundo término: 18xy4 que no es el doble producto de 6x x 2y4, ya que 6x x 2y4 = 24xy4

 

Regla para factorizar un trinomio cuadrado perfecto

Se extrae la raíz cuadrada al primero y al tercer términos del trinomio y se separan estas raíces con el mismo signo del segundo término. Del binomio así formado, que es la raíz cuadrada del trinomio, se indica la multiplicación por sí mismo o su elevación al cuadrado. Ejemplos:

  1. Factorizar m2 + 2m + 1.
    Como la raíz cuadrada de m2 = m,
    la raíz cuadrada de 1 = 1, y
    el signo del segundo término es +, tenemos:
    m2 + 2m + 1 = (m + 1)(m + 1) = (m + 1)2

  2. Factorizar 4x2 + 25y2 - 20xy.
    Ordenando el trinomio tenemos:
    4x2 - 20xy + 25y2.
    Como raíz cuadrada de 4x2 = 2x,
    la raíz cuadrada de 25y2 = 25y, y
    el signo del segundo término es -, entonces:
    4x2 - 20xy + 25y2 = (2x - 5y)(2x - 5y) = (2x - 5y)2

    Cualquiera de las dos raíces puede ser el minuendo. Así, en este ejemplo se tendrá también:
    4x2 - 20xy + 25y2 = (5y - 2x)(5y - 2x) = (5y - 2x)2
    Porque desarrollando este binomio se tiene:
    (5y - 2x)2 = 25y2 - 20xy + 4x2
    Expresión idéntica a 4x2 - 20xy + 25y2  ya que tiene las mismas cantidades con los mismos signos, y aunque el primero y el tercer términos cambiaron de posición, el resultado se mantiene inalterable.

  3. Factorizar 1 - 16ax2 + 64a2x4.
    Como raíz cuadrada de 1 = 1  y raíz cuadrada de 64a2x4 = 8ax2, entonces:
    1 - 16ax2 + 64a2x4 = (1 - 8ax2)(1 - 8ax2) = (1 - 8ax2)2 = (8ax2 - 1)2

  4. Factorizar x2 + bx + b2⁄4
    Este trinomio es cuadrado perfecto porque:
    Raíz cuadrada de x2 = x, raíz cuadrada de b2⁄4 = b⁄2  y  bx = (2)(x)(b⁄2), que es el doble producto de las raíces, luego:
    x2 + bx + b2⁄4 = (x + b⁄2)(x + b⁄2) = (x + b⁄2)2

  5. Factorizar 1⁄4 - b⁄3 + b2⁄9 .
    Es cuadrado perfecto porque:
    Raíz cuadrada de 1/4 = 1⁄2 , raíz cuadrada de b2⁄9 = b⁄3  y 2 x 1⁄2 x b⁄3  = 2b⁄6 = b⁄3 , luego:
    1⁄4 - b⁄3 + b2⁄9 = (1⁄2 - b⁄3)(1⁄2 - b⁄3) = (1⁄2 - b⁄3)2 = (b⁄3 - 1⁄2)2


    Caso especial

  6. Factorizar a2 + 2a(a - b) + (a - b)2

    7. La regla para factorizar un trinomio cuadrado perfecto también puede aplicarse cuando los términos primero y tercero del trinomio, o ambos, son expresiones compuestas. En este caso tenemos que como:
    raíz cuadrada de a2 = a,
    raíz cuadrada de (a - b)2 = (a - b) y
    doble producto de a(a - b) = 2a(a - b); entonces:
    a2 + 2a(a - b) + (a - b)2 = [a + (a - b)] [a + (a - b)] = (a + a - b)(a + a - b) = (2a - b)(2a - b) = (2a - b)2


Caso 2
Caso 4
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