Factorización, caso 4

Diferencia de cuadrados perfectos

Recordemos uno de los productos notables, la suma por la diferencia de dos cantidades:
Sea el producto (a + b)(a - b).

    a  +  b
x  a  -   b 
   a²  +  ab              o sea (a + b)(a - b) = a² - b²
        -  ab - b²
   a²          - b²

Entonces, la suma de dos cantidades multiplicada por su diferencia es igual al cuadrado del minuendo (en la diferencia) menos el cuadrado del sustraendo. Luego, recíprocamente:

La diferencia de los cuadrados de dos cantidades es igual al producto de la suma de las mismas multiplicada por su diferencia: a² - b² = (a + b)(a - b)
De acuerdo con lo anterior podemos enunciar lo siguiente:

 

Regla para factorizar una diferencia de cuadrados

Para factorizar una diferencia de cuadrados se extrae la raíz cuadrada al minuendo y al sustraendo. Los factores de la multiplicación entre la suma de esas raíces cuadradas por la diferencia entre las mismas, son los factores de la diferencia de cuadrados. Ejemplos:

1. Factorizar 1 - a².
   Como la raíz cuadrada de 1 es 1, la raíz cuadrada de a² es a, y los factores de la multiplicación entre la suma de esas dos raíces por su diferencia son (1 + a) y (1 - a), entonces tenemos: 1 - a² = (1 + a)(1 - a)



2. Factorizar 16x² - 25y⁴
   Raíces cuadradas: de 16x² = 4x  y  de 25y⁴ = 5y²
   Sacando os factores de la multiplicación ente la suma de estas raíces por su diferencia tenemos que: 16x² - 25y⁴ = (4x + 5y²)(4x - 5y²)
   


3. Factorizar 49x²y⁶z¹⁰ - a¹²
   Siendo las raíces cuadradas: de 49x²y⁶z¹⁰ = 7xy³z⁵   y   de a¹² = a⁶, y escribiendo los factores de la multiplicación entre la suma de esas raíces por su diferencia, tenemos que: 49x²y⁶z¹⁰ - a¹² = (7xy³z⁵ + a⁶)(7xy³z⁵ - a⁶)
   


4. Factorizar ^a2⁄₄ - ^b4⁄₉
   Raíces cuadradas: de ^a2⁄₄ = ^a⁄₂   y  de ^b4⁄₉ = ^b2⁄₃
   Planteando la multiplicación de la suma por la diferencia de las raíces cuadradas, obtenemos los factores de la diferencia de cuadrados propuesta: ^a2⁄₄ - ^b4⁄₉ = (^a⁄₂ + ^b2⁄₃)(^a⁄₂ - ^b2⁄₃)
   
   
5. Factorizar a²ⁿ - 9b^4ma²ⁿ - 9b^4m = (aⁿ + 3b^2m)(aⁿ - 3b^2m)

Caso especial

La regla empleada en los ejemplos anteriores es aplicable a las diferencias de cuadrados en que uno o ambos cuadrados son expresiones compuestas. Ejemplos:

1. Factorizar (a + b)² - c²
   Raíz cuadrada de (a + b)² = (a + b).
   Raíz cuadrada de c² = c.
   Los factores de la multiplicación de la suma de estas raíces, (a + b) + c, por su diferencia, (a + b) - c, son los factores de la diferencia de cuadrados (a + b)² - c²:

   (a + b)2 - c2	=	[(a + b) + c][(a + b) - c]
   	=	(a + b + c)(a + b - c)




2. Factorizar 4x² - (x + y)²
   Raíz cuadrada de 4x² = 2x.
   Raíz cuadrada de (x + y)² = (x + y).
   Planteando la multiplicación de la suma de las raíces, 2x + (x + y), por su diferencia, 2x - (x + y), se obtienen los factores de la diferencia de cuadrados enunciada:
   

   4x2 - (x + y)2	=	[2x + (x + y)][2x - (x + y)]
   	=	(2x + x + y)(2x - x - y)
   	=	(3x + y)(x - y)




3. Factorizar (a + x)² - (x + 2)²
   Raíz cuadrada de (a + x)² = (a + x).
   Raíz cuadrada de (a + x)² = (x + 2).
   Indicando la multiplicación la suma de las raíces, (a + x) + (x + 2), por su diferencia, (a + x) - (x + 2), obtenemos los factores de la diferencia de cuadrados planteada:

   (a + x)2 - (x + 2)2	=	[(a + x) + (x + 2)][(a + x) - (x + 2)]
   	=	(a + x + x + 2)(a + x - x - 2)
   	=	(a + 2x + 2)(a - 2)

Caso 3

Casos especiales