Factorización, caso 5

Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción

En este caso podemos lograr que un trinomio que no es cuadrado perfecto, lo sea, mediante la adición y sustración de términos iguales. Veamos:

  1. Factorizar x4 + x2y2 + y4
    Este trinomio tiene de cuadrado perfecto el primer término porque la raíz cuadrada de x4 es x2, y el tercer término porque la raíz cuadrada de y4 es y2; pero el segundo término es x2y2  y debería ser 2x2y2, para que fuera el doble producto de las raíces de los otros dos. Luego este trinomio no es cuadrado perfecto.
    Para que sea cuadrado perfecto debemos convertir el segundo término, que es x2y2, en 2x2y2; y esto lo logramos sumándole x2y2, cantidad que también debe ser restada para que el trinomio no varíe, y entonces tenemos:
                             x4+x2y2 +y4    
               +x2y2  -x2y2  
             x4+2x2y2+y4 -x2y2 = (x4 + 2x2y2 + y4) - x2y2
    Factorizando el trinomio cuadrado perfecto = (x2 + y2)2 - x2y2
    Factorizando la diferencia de cuadrados = (x2 + y2 + xy)(x2 + y2 - xy)
    Ordenando = (x2 + xy + y2)(x2 - xy + y2)


  2. Factorizar 4a4 + 8a2b2 + 9b4
    Este trinomio tiene de cuadrado perfecto el primer término porque la raíz cuadrada de 4a2 es 2a2, y el tercer término porque la raíz cuadrada de 9b4 es 3b2; pero el segundo término es 8a2b2  y debería ser 12a2b2, para que fuera el doble producto de las raíces de los otros dos. Luego este trinomio no es cuadrado perfecto.
    Para que sea cuadrado perfecto debemos convertir el segundo término, que es 8a2b2, en 12a2b2; y esto lo logramos sumándole 4a2b2, cantidad que también debe ser restada para que el trinomio no varíe, y entonces tenemos:
                             4a4+8a2b2 + 9b4    
               +4a2b2  -4a2b2  
             4a4+12a2b2+ 9b4 -4a2b2 = (4a4 + 12a2b2 + 9b4) - 4a2b2
    Factorizando el trinomio cuadrado perfecto = (2a2 -3b2)2 - 4a2b2
    Factorizando la diferencia de cuadrados = (2a2 + 3b2 + 2ab)(2a2 + 3b2 - 2ab)
    Ordenando = (2a2 + 2ab + 3b2)(2a2 - 2ab + 3b2)


  3. Factorizar a4 - 16a2b2 + 36b4
    Este trinomio tiene de cuadrado perfecto el primer término porque la raíz cuadrada de a4 es a2, y el tercer término porque la raíz cuadrada de 36b4 es 6b2; pero el segundo término es -16a2b2  y debería ser -12a2b2, para que fuera el doble producto de las raíces de los otros dos porque -2 x a2 x 6b2 = -12a2b2. Luego este trinomio no es cuadrado perfecto.
    Para que sea cuadrado perfecto debemos convertir el segundo término, que es -16a2b2, en -12a2b2; y esto lo logramos sumándole 4a2b2, cantidad que también debe ser restada para que el trinomio no varíe, y entonces tenemos:
    a4-16a2b2 + 36b4    
      +4a2b2  -4a2b2  
    a4-12a2b2+36b4 -4a2b2 = (a4 - 12a2b2+ 36 b4) - 4a2b2
      = (a2 - 6b2)2 - 4a2b2
      = (a2 - 6b2 + 2ab)(a2 - 6b2 - 2ab)
      = (a2 + 2ab- 6b2 )(a2 - 2ab - 6b2)


  4. Factorizar 49m4 - 151m2n4 + 81n8

    a) Los términos primero y tercero de este trinomio son cuadrados perfectos y positivos porque la raíz cuadrada de 49m4  es 7m2, y la de 81n8  es 9n4.
    b) Para que el trinomio dado fuera trinomio cuadrado perfecto el segundo término debería ser el doble del producto de las raíces de los otros dos, o sea, -2 x 7m2 x 9n4 = -126m2n4, y es -151m2n4.
    c) Podemos convertir el segundo término en -126m2n4 sumándole 25m2n4, que también debemos restar para que el trinomio no se altere, y entonces tenemos:
    49m4-151m2n4 +81n8    
      + 25m2n4  - 25m2n4  
    49m4-126m2n4+81n8 -25m2n4 = (49m4 - 126m2n4 + 81n8) - 25m2n4
      = (7m2 - 9n4)2 - 25m2n4
      = (7m2 - 9n4 + 5mn2)(7m2 - 9n4 - 5mn2)
      = (7m2 + 5mn2 - 9n4)(7m2 - 5mn2 - 9n4)

Caso especial: factorizar una suma de dos cuadrados

En general, una suma de dos cuadrados no puede descomponerse en factores racionales, es decir, factores en los que no haya raíz; pero hay sumas de cuadrados a las que, sumándoles y restándoles una misma cantidad, pueden llevarse al caso anterior y descomponerse. Ejemplo:
Factorizar a4 + 4b4

  1. Los dos términos de esta expresión con cuadrados perfectos porque la raíz de a4 es a2, y la de 4b4 es 2b2.
  2. Para hacer un trinomio cuadrado perfecto con los dos términos de esta expresión falta otro que sea el doble del producto de las raíces de esos dos términos, o sea, 2 x a2 x 2b2 = 4a2b2.
  3. Entonces, a a4 + 4b4 le sumamos el término 4a2b2 y, como en los casos anteriores, también se lo restamos para que la expresión no varíe, y tenemos:
    a4   +4b4    
      +4a2b2  -4a2b2  
    a4+4a2b2+4b4 -4a2b2 = (a4 + 4a2b2 + 4b4) - 4a2b2
      = (a2 + 2b2)2 - 4a2b2
      = (a2 + 2b2 + 2ab)(a2 + 2b2 - 2ab)
      = (a2 + 2ab + 2b2)(a2 - 2ab + 2b2)
Casos especiales
Caso 6
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