Trinomio de la forma x2 + bx + c
Trinomios de la forma x2 + bx + c son trinomios como:
- El coeficiente del primer término es 1.
- El primer término es una letra cualquiera elevada al cuadrado.
- El segundo término tiene la misma letra que el primero, con exponente uno, y su coeficiente es una cantidad cualquiera, positiva o negativa.
- El tercer término es independiente (número solo), y puede ser una cantidad cualquiera positiva o negativa.
Reglas para factorizar un trinomio de la forma x2 + bx + c
- El trinomio se descompone en dos factores binomios a cada uno de los cuales se le pone, como primer término, la raíz cuadrada del primer término del trinomio, o sea x.
- En el primer factor, después de x se escribe el signo del segundo término de trinomio, y en el segundo factor, después de x se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo del segundo término del trinomio por el signo del tercer término del trinomio.
- Si, como resultado del paso anterior, los dos factores binomios quedan con signos iguales después de las x, se buscan dos números cuya suma sea el valor absoluto del coeficiente del segundo término del trinomio y cuyo producto sea el valor absoluto del término independiente del trinomio. Estos números son los segundos términos de los binomios.
- Si, como resultado del paso '2' los dos factores binomios quedan con signos distintos se buscan dos números cuya diferencia sea el valor absoluto del coeficiente del segundo término del trinomio y cuyo producto sea el valor absoluto del término independiente del trinomio. El mayor de estos números es el segundo término del primer binomio, y el menor, el segundo término del segundo binomio.
- Factorizar x2 + 5x + 6
a) El trinomio se descompone en dos binomios con x como primer término por ser la raíz cuadrada de x2, primer término del trinomio:x2 + 5x + 6 → (x )(x ) b) En el primer binomio se pone, después de x, el signo +, por ser ese el signo que tiene el segundo término del trinomio, +5x; y en el segundo binomio se pone, después de x, el signo +, por ser ese el signo que resulta de multiplicar los signos de los términos segundo y tercero del trinomio, que en ambos casos es +, +5x y +6, ya que + por + da + :x2 + 5x + 6 → (x + )(x + ) c) Ya que, como resultado del paso anterior, ambos binomios quedaron con signos iguales (+) después de las x, buscamos dos números cuya suma sea igual al valor absoluto del coeficiente del segundo término del trinomio. o sea 5, y cuyo producto sea igual al valor absoluto del término independiente del trinomio, o sea 6. Esos dos números son 2 y 3 porque 2 + 3 = 5 y 2 x 3 = 6. Esos números, 2 y 3, los ponemos como segundos términos de los binomios y tenemos el trinomio factorizado:x2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3) - Factorizar x2 - 7x + 12
a) El primer término de los dos binomios es x por ser la raíz cuadrada de x2:x2 - 7x + 12 → (x )(x ) b) En el primer binomio se pone - después de x por ser ese el signo que tiene el segundo término del trinomio; y en el segundo binomio se pone - por ser ese el signo que resulta de multiplicar los signos de los términos segundo y tercero del trinomio, ya que - por + da - :x2 - 7x + 12 → (x - )(x - ) c) Como los dos binomios quedan con signos iguales (-) después de la x, buscamos dos números que sumados den 7 (valor absoluto del coeficiente del 2º término de trinomio) y multiplicados den 12 (valor absoluto del término independiente del trinomio). Esos números, que serán los segundos términos de los binomios, son 3 y 4 porque 3 + 4 = 7, y 3 x 4 = 12:x2 - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4) - Factorizar x2 + 2x - 15
a) El primer término de los dos binomios es x por ser la raíz cuadrada de x2:x2 + 2x - 15 → (x )(x ) b) En el primer binomio se pone + después de x por ser ese el signo que tiene el segundo término del trinomio; y en el segundo binomio se pone - por ser ese el signo que resulta de multiplicar los signos de los términos segundo y tercero del trinomio, ya que + por - da - :x2 + 2x - 15 → (x + )(x - ) c) Como los dos binomios quedan con signos distintos después de la x, buscamos dos números cuya diferencia sea igual al valor absoluto del coeficiente del segundo término de trinomio (2) y cuyo producto sea igual al valor absoluto del término independiente del trinomio (15). Esos números son 5 y 3 porque 5 - 3 = 2, y 5 x 3 = 15. Ponemos el mayor, que es 5, como segundo término del primer binomio, y el menor, que es 3, como segundo término del segundo binomio:x2 + 2x - 15 = (x + 5)(x - 3) - Factorizar x2 - 5x - 14
a) El primer término de los dos binomios es x por ser la raíz cuadrada de x2:x2 - 5x - 14 → (x )(x ) b) En el primer binomio se pone - después de x por ser ese el signo que tiene el segundo término del trinomio; y en el segundo binomio se pone + por ser ese el signo que resulta de multiplicar los signos de los términos segundo y tercero del trinomio, ya que - por - da + :x2 - 5x - 14 → (x - )(x + ) c) Como los dos binomios quedan con signos distintos después de la x, buscamos dos números cuya diferencia sea igual al valor absoluto del coeficiente del segundo término de trinomio (5) y cuyo producto sea igual al valor absoluto del término independiente del trinomio (14). Esos números son 7 y 2 porque 7 - 2 = 5, y 7 x 2 = 14. Ponemos el mayor, que es 7, como segundo término del primer binomio, y el menor, que es 2, como segundo término del segundo binomio:x2 - 5x - 14 = (x - 7)(x + 2) - Factorizar x2 + 6x - 216
a) El primer término de los dos binomios es x por ser la raíz cuadrada de x2:x2 + 6x - 216 → (x )(x ) b) En el primer binomio se pone + después de x por ser ese el signo que tiene el segundo término del trinomio; y en el segundo binomio se pone - por ser ese el signo que resulta de multiplicar los signos de los términos segundo y tercero del trinomio, ya que + por - da - :x2 + 6x - 216 → (x + )(x - ) c) Como los dos binomios quedan con signos distintos después de la x, necesitamos dos números cuya diferencia sea igual al valor absoluto del coeficiente del segundo término de trinomio (6) y cuyo producto sea igual al valor absoluto del término independiente del trinomio (216).
Como esos números no se ven fácilmente, para encontrarlos descomponemos en sus factores primos el término independiente:
Ahora, con diferentes pares de combinaciones de esos factores primos, conseguimos así mismo parejas de productos, y por tanteo vamos variando las combinaciones, hasta encontrar dos productos cuya diferencia sea 6. Así:216 2 108 2 54 2 27 3 9 3 3 3 1
2 x 2 x 2 = 8 3 x 3 x 3 = 27 27 - 8 = 19, no sirven
2 x 2 x 2 x 3 = 24 3 x 3 = 9 24 - 9 = 15, no sirven
2 x 2 x 3 = 12 2 x 3 x 3 = 18 18 - 12 = 6, sí sirven
18 y 12 son los números que necesitamos porque su diferencia es 6, y su producto necesariamente es 216 ya que para conseguir esos números hemos empleado todos los factores que obtuvimos en la descomposición de 216. Luego:x2 + 6x - 216 = (x + 18)(x - 12) - Factorizar a2 + 66a + 1.080
a2 + 66a + 1.080 → (a - )(a - ) Necesitamos dos números cuya suma sea 66 y cuyo producto sea 1.080.
Descomponiendo 1.180 en sus factores primos tenemos:1.080 2 540 2 270 2 2 x 2 x 2 = 8 3 x 3 x 3 x 5 = 105 105 + 8 = 113, no sirven 135 3 2 x 2 x 2 x 3 = 24 3 x 3 x 5 = 45 45 + 24 = 69, no sirven 45 3 2 x 3 x 5 = 30 2 x 2 x 3 x 3 = 36 36 + 30 = 66, sí sirven 15 3 5 5 1
Los números que necesitamos son 30 y 36 porque su suma es 66 y su producto necesariamente es 1.080 ya que para conseguir estos números hemos empleado todos los factores que obtuvimos descomponiendo 1.080, luego:a2 + 66a + 1.080 = (a - 36)(a - 30)
Casos especiales
Las reglas vistas para el caso 6 son aplicables a la factorización de trinomios que aunque en apariencia no son de la forma de los trinomios de este caso (x2 + bx + c), porque difieren en algo de la misma, en el fondo sí son de esa forma.
- Factorizar x4 - 5x2 - 50
a) El primer término de cada factor binomio será la raíz cuadrada de x4, o sea x2 (regla 1):x4 - 5x2 - 50 → (x2 )(x2 ) b) En el primer binomio se pone - después de x2 por ser ese el signo que tiene el segundo término del trinomio; y en el segundo binomio se pone + por ser ese el signo que resulta de multiplicar los signos de los términos segundo y tercero del trinomio, ya que - por - da + (regla 2):x4 - 5x2 - 50 → (x2 - )(x2 + ) c) Como los dos binomios quedan con signos distintos después de la x, buscamos dos números cuya diferencia sea igual al valor absoluto del coeficiente del segundo término de trinomio (5) y cuyo producto sea igual al valor absoluto del término independiente del trinomio (50). Esos números son 10 y 5 porque 10 - 5 = 5, y 10 x 5 = 50. Ponemos el mayor, que es 10, como segundo término del primer binomio, y el menor, que es 5, como segundo término del segundo binomio (regla 4):x4 - 5x2 - 50 = (x2 - 10)(x2 + 5) - Factorizar x6 + 7x3 - 44
El primer término de cada factor binomio será la raíz cuadrada de x6, o sea x3 (regla 1):x6 + 7x3 - 44 → (x3 )(x3 ) Signos entre los dos términos de los binomios: más (+) para el primero y menos (-) para el segundo (regla 2):x6 + 7x3 - 44 → (x3 + )(x3 - ) Buscamos dos números cuya diferencia sea 7 y cuyo producto sea 44 (regla 4):x6 + 7x3 - 44 = (x3 + 11)(x3 - 4) - Factorizar a2b2 - ab - 42
El primer término de cada factor binomio será la raíz cuadrada de a2b2, o sea ab (regla 1):a2b2 - ab - 42 → (ab )(ab ) Signos entre los dos términos de los binomios: menos (-) para el primero y más (+) para el segundo (regla 2):a2b2 - ab - 42 → (ab - )(ab + ) Buscamos dos números cuya diferencia sea 1 y cuyo producto sea 42 (regla 4):a2b2 - ab - 42 = (ab - 7)(ab + 6) - Factorizar (5x)2 - 9(5x) + 8
El primer término de cada factor binomio será la raíz cuadrada de (5x)2, o sea 5x (regla 1):(5x)2 - 9(5x) + 8 → (5x )(5x ) Signos entre los dos términos de los binomios: menos (-) para el primero y menos (-) para el segundo (regla 2):(5x)2 - 9(5x) + 8 → (5x - )(5x - ) Buscamos dos números cuya suma sea 9 y cuyo producto sea 8 (regla 3):(5x)2 - 9(5x) + 8 = (5x - 8)(5x - 1) - Factorizar x2 - 5ax - 36a2
El primer término de cada factor binomio será la raíz cuadrada de x2, o sea x (regla 1):x2 - 5ax - 36a2 → (x )(x ) Signos entre los dos términos de los binomios: menos (-) para el primero y más (+) para el segundo (regla 2):x2 - 5ax - 36a2 → (x - )(x + ) Buscamos dos números cuya diferencia sea 5a y cuyo producto sea 36a2 (regla 4):x2 - 5ax - 36a2 = (x - 9a)(x + 4a) - Factorizar (a + b)2 - 12(a + b) + 20
El primer término de cada factor binomio será la raíz cuadrada de (a + b)2, o sea (a + b) (regla 1):(a + b)2 - 12(a + b) + 20 → [(a + b) ][(a + b) ] Signos entre los dos términos de los binomios: menos (-) para el primero y menos (-) para el segundo (regla 2):(a + b)2 - 12(a + b) + 20 → [(a + b) - ][(a + b) - ] Buscamos dos números cuya suma sea 12 y cuyo producto sea 20 (regla 3):
(a + b)2 - 12(a + b) + 20 = [(a + b) - 10][(a + b) - 2]
= (a + b - 10)(a + b - 2) - Factorizar 28 + 3 x - x2
Ordenamos el trinomio en orden descendente respecto de la x:28 + 3x - x2 = -x2 + 3x + 28 Eliminamos el signo - de -x2, o sea, lo cambiamos por +, poniendo el trinomio dentro de un paréntesis precedido por el signo -, debiendo cambiar de signo también a los otros dos términos:-(x2 - 3x - 28) ... y lo factorizamos:
El primer término de cada factor binomio será la raíz cuadrada de x2, o sea x (regla 1):-(x2 - 3x - 28) → -[(x )(x )] Signos entre los dos términos de los binomios: menos (-) para el primero y más (+) para el segundo (regla 2):-(x2 - 3x - 28) → -[(x - )(x + )] Buscamos dos números cuya diferencia sea 3 y cuyo producto sea 28 (regla 4):-(x2 - 3x - 28) = -[(x - 7)(x + 4)] Eliminamos el paréntesis del trinomio, pero como está precedido del signo menos (-) debemos cambiar el signo de sus términos; y, así mismo, eliminamos la llave del producto de binomios, pero como está precedida del signo menos (-) basta con cambiarle el signo a uno de sus factores, y entonces tenemos:-(x2 - 3x - 28) = -[(x - 7)(x + 4)] -x2 + 3x + 28 = -(x - 7)(x + 4) -x2 + 3x + 28 = (-x + 7)(x + 4) 28 + 3 x - x2 = (7 - x)(x + 4)
| Caso 5 |
| Caso 7 |
