Trinomio de la forma ax2 + bx + c
Son trinomios de la forma:
| | 2x2 | + | 11x | + | 5 |
| | 3a2 | + | 7a | - | 6 |
| | 10n2 | - | n | - | 2 |
| | 7m2 | - | 23m | + | 6 |
Que se diferencian de los trinomios estudiados en el caso 6 en que
el primer término tiene coeficiente diferente de 1.
- Factorizar 6x2 - 7x - 3
Multiplicamos el trinomio por el coeficiente de x2 que es 6 y, dejando indicado el producto de 6 por 7x, se tiene: 36x2 - 6(7x) - 18 Pero 36x2 = (6x)2 y 6(7x) = 7(6x), luego también podemos escribir el trinomio así: (6x)2 - 7(6x) -18 Descomponiendo este trinomio como vimos en el caso 6:
El primer término de cada factor es la raíz cuadrada de (6x)2 que es 6x (regla 1), y los signos son menos (-) y más (+) (regla 2): (6x - )(6x + ) Dos números cuya diferencia sea 7 y cuyo producto sea 18 (regla 4) y que son 9 y 2, son los segundos términos de los factores binomios: (6x - 9)(6x + 2) Como al principio multiplicamos el trinomio dado por 6, ahora lo dividimos entre 6 para que no se altere: Pero como ninguno de los dos binomios es divisible entre 6, descomponemos 6 en 3 x 2 y dividimos (6x - 9) entre 3 y (6x + 2) entre 2: | (6x - 9)(6x + 2) | = | (2x - 3)(3x + 1) |
| 3 x 2 |
Y tenemos factorizado el trinomio dado: 6x2 - 7x - 3 = (2x - 3)(3x + 1)
- Factorizar 20x2 + 7x - 6
Multiplicamos el trinomio por el coeficiente de x2 que es 20 y, dejando indicado el producto de 20 por 7x, se tiene: (20x)2 + 20(7x) - 120 Pero como 20(7x) = 7(20x) también podemos escribir el trinomio así: (20x)2 + 7(20x) - 120 Descomponiendo este trinomio como vimos en el caso 6:
El primer término de cada factor es la raíz cuadrada de (20x)2 que es 20x (regla 1), y los signos son más (+) y menos (-) (regla 2): (20x + )(20x - ) Los dos números cuya diferencia es 7 y cuyo producto es 120 (regla 4) son 15 y 8, entonces los ponemos como segundos términos de los factores binomios: (20x + 15)(20x - 8) Cancelamos la multiplicación que al principio hicimos por 20, dividiendo los dos binomios entre 20: Pero como ninguno de los dos binomios es divisible entre 20, descomponemos 20 en 5 x 4 y dividimos (20x + 15) entre 5 y (20x - 8) entre 4: | (20x + 15)(20x - 8) | = | (4x + 3)(5x - 2) |
| 5 x 4 |
Y tenemos factorizado el trinomio dado: 20x2 + 7x - 6 = (4x + 3)(5x - 2)
- Factorizar 18a2 - 13a - 5
Multiplicando por 18: (18a)2 - 13(18a) - 90
Factorizando este trinomio: (18a - 18)(18a + 5)
Dividiendo entre 18, para lo cual, como el primer binomio (18a - 18) es divisible entre 18 basta dividir este factor entre 18: | (18a - 18)(18a + 5) | = | (a - 1)(18a + 5) |
| 18 |
Luego: 18a2 - 13a - 5 = (a - 1)(18a + 5)
Casos especiales
- Factorizar 15x4 - 11x2 - 12
Multiplicando por 15: (15x2)2 - 11(15x2) - 180
Descomponiendo este trinomio, el primer término de cada factor será la raíz cuadrada de (15x2)2 o sea 15x2: (15x2 - 20)(15x2 + 9); y dividiendo entre 15: | (15x2 - 20)(15x2 + 9) | = | (3x - 4)(5x + 3) |
| 5 x 3 |
- Factorizar 12x2y2 + xy - 20
Multiplicando por 12: (12xy)2 + 1(12x) - 240
Factorizando este trinomio: (12xy + 16)(12xy - 15)
Dividiendo entre 12: | (12xy + 16)(12xy - 15) | = | (3xy + 4)(4y - 5) |
| 4 x 3 |
- Factorizar 6x2 - 11ax - 10a2
Multiplicando por 6: (6x)2 - 11a(6x) - 60a2
Factorizando este trinomio: (6x - 15a)(6x + 4a)
Dividiendo entre 6: | (6x - 15a)(6x + 4a) | = | (2x - 5a)(3x + 2a) |
| 3 x 2 |
- Factorizar 20 - 3x - 9x2
Ordenando el trinomio en orden descendente respecto de x: -9x2 - 3x + 20
Poniéndolo dentro de un parénteis precedido del signo menos: -(9x2 + 3x - 20)
Multiplicándolo por 9: -[9(9x2) + 9(3x) - 9(20)] = -[(9x)2 + 3(9x) - 180)]
Factorizando el trinomio resultante: -(9x + 15)(9x - 12)
Dividiendo entre 9: | -(9x + 15)(9x - 12) | = | -(3x + 5)(3x - 4) |
| 3 x 3 |
Para que desaparezca el signo menos des este producto, osea para convertirlo en más, cambiamos los signos de los dos términos de un factor, por ejemplo a (3x - 4) que se convierte en (-3x + 4), que también se puede escribir (4 - 3x), y así tenemos factorizado el trinomio dado: 20 - 3x - 9x2 = (3x + 5)(4 - 3x)
