Factorización, caso 8

Cubo perfecto de binomios

Según el producto notable cubo de un binomio:
  1. El cubo de la suma de dos cantidades es igual al cubo de la primera, más el triple del cuadrado de la primera por la segunda, más el triple de la primera por el cuadrado de la segunda, más el cubo de la segunda:
    (a + b)3: a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
  2. El cubo de la diferencia de dos cantidades es igual al cubo de la primera, menos el triple del cuadrado de la primera por la segunda, más el triple de la primera por el cuadrado de la segunda, menos el cubo de la segunda:
    (a - b)3: a3 - 3a2b + 3ab2 - b3

Según lo anterior, para que una expresión algebraica ordenada con respecto de una letra sea el cubo de un binomio, debe cumplir las siguientes condiciones:

  1. Tener cuatro términos.
  2. Que el primero y el último términos sean cubos perfectos.
  3. Que el segundo término sea más o menos el triple del cuadrado de la raíz cúbica del primer término multiplicado por la raíz cúbica del último término
  4. Que el tercer término sea más el triple de la raíz cúbica del primer término multiplicado por el cuadrado de la raíz cúbica del último término

Si todos los términos de la expresión son positivos, la expresión dada es el cubo de la suma de las raíces cúbicas de su primer y último términos, y si los términos son alternativamente positivos y negativos, la expresión dada es el cubo de la diferencia de dichas raíces.


Raíz cúbica de un monomio

La raíz cúbica de un monomio se obtiene extrayendo la raíz cúbica de su coeficiente y dividiendo el exponente de cada letra entre 3.
Así, la raíz cúbica de de 8a3b6 es 2b2. En efecto:

(2ab2)3 = 2ab2 x 2ab2 x 2ab2 = 8a3b6

Hallar si una expresión dada es el cubo de un binomio

  1. Hallar si 8x3 + 12x2 + 6x + 1 es el cubo de un binomio.
      La expresión tiene cuatro términos. La raíz cúbica de 8x3 es 2x.
      La raíz cúbica de 1 es 1.
      3(2x)2(1) = 12x2, segundo término.
      3(2x)(1)2 = 6x, tercer término.
    Cumple las condiciones y todos sus términos son positivos, luego la expresión dada es el cubo del binomio (2x + 1), dicho de otra forma, el binomio (2x + 1) es la raíz cúbica de la expresión dada.


  2. Hallar si 8x6 + 54x2y6 - 27y9 - 36x4y3 es el cubo de un binomio.
    Ordenamos el polinomio: 8x6 - 36x4y3 + 54x2y6 - 27y9
      La expresión tiene cuatro términos.
      La raíz cúbica de 8x6 es 2x2.
      La raíz cúbica de 27y9 es 3y3.
      3(2x2)2(3y3) = 36x4y3, segundo término.
      3(2x2)(3y3)2 = 54x2y6, tercer término.
    Cumple las condiciones y los términos son alternativamente positivos y negativos, luego la expresión dada es el cubo del binomio (2x2 - 3y3).

Factorizar una expresión que es el cubo de un binomio

  1. Factorizar 1 + 12a + 48a2 + 64a3
    Aplicando el procedimiento anterior vemos que la expresión dada cumple las condiciones para ser el cubo de un binomio.
    Si los términos primero y último de la expresión son 1 y 64a3, respectivamente, y todos los términos de la expresión son positivos, entonces la expresión dada es el cubo de la suma de las raíces cúbicas de 1 y 64a3. Luego:
    1 + 12a + 48a2 + 64a3 = (1 + 4x)3


  2. Factorizar a9 - 18a6b5 + 108a3b10 - 216b15
    Aplicando el procedimiento anterior vemos que la expresión dada es el cubo de (a3 - 6b5), entonces:
    a9 - 18a6b5 + 108a3b10 - 216b15 = (a3 - 6b5)3

Caso 7
Caso 9
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