Factorización, caso 9

Suma o diferencia de cubos perfectos

El cociente de dividir la suma o diferencia de los cubos de dos cantidades entre la suma o diferencia de esas cantidades, es un cociente notable del cual podemos deducir la factorización de la suma o la diferencia de cubos perfectos.
  1. La suma de los cubos de dos cantidades dividida por la suma de esas cantidades es igual al cuadrado de la primera, menos el producto de la primera por la segunda, más el cuadrado de la segunda.
    2. a3 + b3 =  a2 - ab + b2
    a + b
    y como en toda división exacta el dividendo es igual al producto del divisor por el cociente, entonces:
    a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2)

    Deducción: La suma de dos cubos perfectos se descompone en dos factores, así:
    1. La suma de sus raíces cúbicas.
    2. El cuadrado de la primera raíz, menos el producto de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz.

  2. La diferencia de los cubos de dos cantidades dividida por la diferencia de esas cantidades es igual al cuadrado de la primera, más el producto de la primera por la segunda, más el cuadrado de la segunda:
    3. a3 - b3 =  a2 + ab + b2
    a - b
    y como en toda división exacta el dividendo es igual al producto del divisor por el cociente, entonces:
    a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2)

    Deducción: La diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos factores, así:
    1. La diferencia de sus raíces cúbicas.
    2. El cuadrado de la primera raíz, más el producto de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz.

Casos especiales

  1. Factorizar (a + b)3 + 1
      Siendo la raíz cúbica de (a + b)3 = (a + b), y la de 1 = 1, entonces:
      (a + b)3 + 1  =  [(a + b) + 1] [(a + b)2 - (a + b)(1) + 12]
        =   (a + b + 1)(a2 + 2ab + b2 - a - b + 1)


  2. Factorizar 8 - (x - y)3
      3. Siendo la raíz cúbica de 8 = 2, y la de(x- y)3 = (x - y), entonces:
      8 - (x - y)3  =  [2 - (x - y)] [(a + b)2 - (a + b)(1) + 12]
        =   (a + b + 1)(a2 + 2ab + b2 - a - b + 1)


  3. Factorizar (x + 1)3 + (x - 2)3
      4. (x + 1)3 + (x - 2)3  =   [(x + 1) + (x - 2)] [(x + 1)2 - (x + 1)(x - 2) + (x - 2)2]
        =   (x + 1 + x - 2)(x2 + 2x + 1 - x2 + x + 2 + x2 - 4x + 4)
      (Reduciendo)   =   (2x - 1)(x2 - x + 7)


  4. Factorizar (a - b)3 - (a + b)3
      5. (a - b)3 - (a + b)3  =   [(a - b) - (a + b)] [(a - b)2 + (a - b)(a + b) + (a + b)2]
        =   (a - b - a - b)(a2 -2ab + b2 + a2 - b2 + a2 + 2ab + b2)
      (Reduciendo)   =   (-2b)(3a2 + b2)
Caso 8
Caso 10
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