Combinación de los casos 3 y 4
En esta combinación se descomponen expresiones compuestas en las cuales, mediante un arreglo conveniente de sus términos, se obtiene uno o se obtienen dos trinomios cuadrados perfectos que, al ser descompuestos (caso 3) se convierten una diferencia de cuadrados (caso 4).
- Factorizar a2 + 2ab + b2 - 1
Aquí tenemos que a2 + 2ab + b2 es un trinomio cuadrado perfecto, luego: | a2 + 2ab + b2 - 1 | = | (a2 + 2ab + b2) - 1 |
| Factorizando el trinomio | = | (a + b)2 - 1 |
| Factorizando la diferencia de cuadrados | = | (a + b + 1)(a + b - 1) |
- Factorizar a2 + m2 - 4b2 - 2am
Ordenando la expresión así: a2 - 2am + m2 - 4b2, podemos observar que a2 - 2am + m2 es un trinomio cuadrado perfecto; luego: | a2 - 2am + m2 - 4b2 | = | (a2 - 2am + m2) - 4b2 |
| Factorizando el trinomio | = | (a - m)2 - 4m2 |
| Factorizando la diferencia de cuadrados | = | (a - m + 2b)(a - m - 2b) |
- Factorizar 9a2 - x2 + 2x -1
Poniendo los tres últimos términos dentro de un paréntesis precedido del signo menos para hacer positivos a x2 y a 1, tenemos: | 9a2 - x2 + 2x -1 | = | 9a2 - (x2 - 2x +1) |
| Factorizando el trinomio | = | 9a2 - (x - 1)2 |
| Factorizando la diferencia de cuadrados | = | [3a + (x - 1)][3a - (x - 1)] |
| | = | (3a + x -1)(3a - x + 1) |
- Factorizar 4x2 - a2 + y2 - 4xy + 2ab - b2
Por inspección podemos observar que 4x2 y y2 pueden ser los términos primero y tercero de un trinomio cuadrado perfecto cuyo segundo término debería ser el doble del producto de las raíces cuadradas de esos términos, o sea 4xy que, como podemos observar, también está dentro del polinomio dado. Lo mismo ocurre con los términos a2, b2 y 2ab.
Así obtenemos dos trinomios cuadrados perfectos. Pero el segundo debemos ponerlo dentro de un paréntesis precedido del signo menos (-) para hacer positivos -a2 y -b2, que son negativos en el polinomio dado.
Como hemos encontrado dentro de la expresión dada dos trinomios cuadrados perfectos, entonces tenemos: | 4x2 - a2 + y2 - 4xy + 2ab - b2 | = | (4x2 - 4xy + y2) - (a2 - 2ab + b2) |
| Factorizando los trinomios | = | (2x - y)2 - (a - b)2 |
| Descomponer la diferencia de cuadrados | = | [(2x - y) + (a - b)][(2x - y) - (a - b)] |
| | = | (2x - y + a - b)(2x - y - a + b) |
- Factorizar a2 - 9n2 - 6mn + 10ab + 25b2 - m2
Por inspección podemos observar que a2 y 25b2 pueden ser los términos primero y tercero de un trinomio cuadrado perfecto cuyo segundo término debería ser 10ab que, como podemos observar, también está dentro del polinomio dado. Lo mismo ocurre con los términos m2, 9n2 y 6mn.
Entonces encontrados estos dos trinomios cuadrados perfectos, tenemos: | a2 - 9n2 - 6mn + 10ab + 25b2 - m2 | = | (a2 + 10ab + 25b2) - (m2 + 6mn + 9n2) |
| Factorizando los trinomios | = | (a + 5b)2 - (m + 3n)2 |
| Factorizando la diferencia de cuadrados | = | [(a + 5b) + (m + 3n)][(a + 5b) - (m + 3n)] |
| | = | (a + 5b + m + 3n)(a + 5b - m - 3n) |
