Factores
Se llaman Factores o divisores en una expresión algebraica a las expresiones algebraicas que multiplicadas entre sí dan como producto la primera expresión.
Así multiplicando a por a + b, tenemos: a(a + b) = a2 + ab
a y a + b, que multiplicados entre sí dan como producto a2 + ab, son factores o divisores de a2 + ab.
Del mismo modo, (x + 2 )(x + 3) = x2 + 5x + 6
luego x + 2 y x + 3 son factores de x2 + 5x + 6.
Descomponer en factores o factorizar una expresión algebraica es convertirla en el producto indicado de sus factores
Factorizar un monomio
Para factorizar un monomio se hallan los factores del coeficiente y los factores de la parte literal. Esos factores se pueden hallar por simple inspección. Ejemplos:
| Los factores de: | son: | Por tanto: |
| 15a2b3 | 3, 5, a, a, b, b y b | 15a2b3 = 3.5.a.a.b.b.b |
| 8abc2 | 2, 2, 2, a, b, c y c | 8abc2 = 2.2.2.a.b.c.c |
| 14xyz | 2, 7, x, y y z | 14xyz = 2.7.x.y.z |
| 24x2y2 | 2, 2, 2, 3, x, x, y y y | 24x2y2 = 2.2.2.3.x.x.y.y |
Factorizar un polinomio
No todo polinomio se puede descomponer en dos o más factores distintos de 1, pues así como en aritmética hay números primos que solo son divisibles entre ellos mismos y entre 1, hay expresiones algebraicas que solo son divisibles entre ellas mismas y entre 1, y que, por tanto, no son el producto de otras expresiones algebraicas. Así a + b no puede descomponerse en dos factores distintos de a + b y 1 porque solo es divisible entre a + b y entre 1.
Los factores de un polinomio
Si P(x) se puede expresar como producto de polinomios de grado mayor que cero, se dice que cada uno de esos polinomios es un factor de P. Ejemplo:
Si x3 - 8 = (x - 2)(x2 + 2x + 4) entonces (x - 2) y (x2 + 2x + 4) son factores de x3 - 8
Estos dos conceptos están relacionados entre sí mediante el llamado teorema del factor:
Si P(s) = 0, entonces (x-s) es un factor de P, y si (x-s) es un factor de P, entonces P(s) = 0.
Si P(s) = 0, el teorema del residuo asegura que:
P(x) = (x - s)C(x), y entonces C(x) y (x - s) son factores de P. Si (x - s) es un factor de P, entonces P(x) = (x - s)C(x), y al calcular P(s) resulta que P(s) = (s - s)C(s) = 0.
En realidad lo que dice este teorema es que saber que s es una raíz de P, es equivalente a que (x - s) sea un factor de P.
Para P(x) = x3 - 1 se tiene que P(1) = 0 por tanto P es divisible por (x - 1), en este caso:
En este capítulo veremos la manera de descomponer polinomios en dos o más factores distintos de 1. Y en los diez casos que estudiaremos, la prueba general de los factores consiste en multiplicar entre sí los factores que se obtienen, y el producto debe ser igual a la expresión factorizada.
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| Caso 1 |
