Cuadrado de la suma de dos cantidades

Elevar al cuadrado (a + b) equivale a multiplicar este binomio por sí mismo:
(a + b)2 = (a + b)(a + b)
Efectuando este producto, tenemos:
 a   +    b           
x   a   +    b 
a2   +  ab   
          ab   +   b2
a2   + 2ab  +   b2
o sea que (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

luego, el cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera más el doble producto de la primera por la segunda más el cuadrado de la segunda.

Ejercicios

  1. Desarrollar (x + 4)2
    Cuadrado del primer término: x2
    Doble producto del primero por el segundo: 2x  x  4 = 8x
    Cuadrado del segundo: 42 = 16
    Luego: (x + 4)2 = x2 + 8x +16

    Las operaciones deben hacerse mentalmente y escribir directamente el producto.

    Cuadrado de un monomio. Para elevar un monomio al cuadrado se eleva su coeficiente al cuadrado y se multiplica el exponente de cada letra por 2. Sea el monomio 4ab2. Decimos que:
    (4ab2)2 = 42a1x2b2x2 = 16a2b4
    En efecto: (4ab2)2 = 4ab2 x 4ab2 = 16a2b4

    Del mismo modo: 5x3y4z5 = 25x6y8z10


  2. Desarrollar (4a + 5b2)2
    Cuadrado del primero: (4a)2 = 16a2
    Doble del primero por el segundo: 2 x 4a x 5b2 = 40ab2
    Cuadrado del segundo: (5b2)2 = 25b4
    Luego: (4a + 5b2)2 = 16a2 + 40ab2 + 25b4

    Las operaciones, que se han detallado para mayor facilidad, no deben escribirse sino verificarse mentalmente.


  3. Desarrollar (3a2 + 5x3)2
    Cuadrado del 1º:  (3a2)2 = 9a4
    Doble producto del 1º por el 2º:  2((3a2)(5x3) = 30a2x3
    Cuadrado del 2º:  (5x3)2 = 25x6
    Luego: (3a2 + 5x3)2 = 9a4 + 30a2x3 + 25x6


  4. Efectuar (7ax4 + 9y5)(7ax4 + 9y5)
    Tenemos que la expresión dada es el cuadrado de una suma: (7ax4 + 9y5)2
    Cuadrado del 1º:  (7ax4)2 = 49a2x8
    Doble producto del 1º por el 2º:  2(7ax4)(9y5) = 126x4y5
    Cuadrado del 2º:  (9y5)2 = 81y10
    Luego: (7ax4 + 9y5)(7ax4 + 9y5) = 49a2x8 + 126x4y5 + 81y10


Representación gráfica del cuadrado de la suma de dos cantidades


El cuadrado de la suma de dos cantidades puede representarse geométricamente cuando los valores son positivos. Veamos los siguientes pasos:
Sea (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
  1. Construimos un cuadrado con a unidades de lado, es decir, un cuadrado de lado a:

    a 
    a2
       a

  2. Construimos un cuadrado con b unidades de lado, es decir, un cuadrado de lado b:

    b 
    b2
       b

  3. Construimos dos rectángulos con a de largo y b de ancho b:

    b 
    ab
        a
    		    
    b 
    ab
       a
  4. Uniendo estas cuatro figuras formaremos un cuadrado de (a + b) unidades de lado. El área de este cuadrado es (a + b)(a + b) = (a + b)2 y, como puede verse en la siguiente figura, esta área se encuentra formada por un cuadrado de área a2, un cuadrado de área b2 y dos rectángulos de área ab cada uno, o sea 2ab:
    b 
    ab
    b2
    a 
    a2
    ab
    ab
    5.      Luego: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2


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