En la divisibilidad entre x - a (ver → 101) se demuestra que si un polinomio entero y racional en x se anula para x = a, el polinomio es divisible entre x - a. Aplicaremos ese principio a la descomposición de un polinomio en factores por el método de evaluación.
- Descomponer por evaluación x3 + 2x2 - x - 2
Los valores que daremos a x son los valores del término independiente 2 que son +1, -1, +2 y -2. Veamos si el polinomio que se anula para x = 1, x = -1, x = 2, y si se anula para alguno de estos valores el polinomio será divisible entre x menos ese valor.
Aplicando la división sintética (ver 100 y 101 → ej.3), veremos si el polinomio se anula para estos valores de x y simultáneamente hallamos los coeficientes del cociente de la división. En este caso tendremos:
El residuo es 0, o sea que el polinomio dado se anula para x = 1, luego es divisible entre (x - 1).Coeficientes del polinomio 1 +2 -1 -2 +1 x = 1 1 x 1 = +1 3 x 1 = +3 2 x 1 = +2 1 +3 +2 0 Coeficientes del cociente
Dividiendo x3 + 2x2 - x - 2 entre x - 1 el cociente será de segundo grado, y sus coeficientes 1, 3 y 2, luego el cociente es x2 + 3x + 2, y como el dividendo es igual al producto del divisor por el cociente, tendremos:x3 + 2x2 - x - 2 = (x - 1)(x2 + 3x + 2) (factorizando el trinomio) = (x - 1)(x + 1)(x + 2) - Descomponer por evaluación x3 - 3x2 - 4x + 12
Los factores de 12 son ±(1, 2, 3, 4, 6, 12)Pruebas
Coeficientes del polinomio 1 -3 -4 +12 +1 x = 1 1 x 1 = +1 (-2) x 1 = -2 (-6) x 1 = - 6 1 -2 -6 +6 El residuo es 6, luego el polinomio no se anula para x = 1, y no es divisible entre (x - 1).
Coeficientes del polinomio 1 -3 -4 +12 -1 x = -1 1 x (-1) = -1 (-4) x -1 = +4 0 x (-1) = 0 1 -4 0 +12 El residuo es 12, luego el polinomio no se anula para x = -1, y no es divisible entre x - (-1) = x + 1.
1 -3 -4 +12 +2 x = 2 1 x 2 = +2 (-1) x 2 = -2 (-6) x 2 = -12 1 -1 -6 0 Coeficientes del cociente El residuo es 0, luego el polinomio dado se anula para x = 2, y es divisible entre (x - 2).
El cociente de dividir el polinomio dado x3 - 3x2 - 4x + 12 entre x - 2 será de segundo grado y sus coeficientes son 1, -1, -6, luego el cociente será x2 - x - 6.
Por tanto:x3 - 3x2 - 4x + 12 = (x - 2)(x2 - x - 6) (factorizando el trinomio) = (x - 2)(x - 3)(x + 2) - Descomponer por evaluaciación x4 - 11x2 - 18x - 8
Los factores de 8 son ±(1, 2, 4, 8).
Al escribir los coeficientes del polinomio dado se debe poner cero en el lugar correspondiente a los términos que falten. En este caso ponemos cero en el lugar correspondiente al término x3, que es el que falta.Pruebas
Coeficientes del polinomio 1 0 -11 -18 -8 +1 x = 1 +1 +1 -10 -28 1 +1 -10 -28 -36 no se anula 1 0 -11 -18 -8 -1 x = -1 -1 +1 +10 +8 1 -1 -10 -8 0 Coeficientes del cociente
Se anula para x = -1, luego el polinomio dado es divisible porx - (-1) = x + 1 El cociente de dividir x4 - 11x2 - 18x - 8 entre x + 1 será de tercer grado y sus coeficientes son 1, -1, -10, -8, luego el cociente será x3 - x2 - 10x - 8.
Por tanto x4 - 11x2 - 18x - 8 = (x + 1)(x3 - x2 - 10x - 8) (1)
Ahora vamos a descomponer x3 - x2 - 10x - 8 por el mismo método.
El valor x = 1, que no anuló al polinomio dado, no se prueba porque no puede anular a este polinomio. El valor x = - 1, que anuló al polinomio dado, se prueba nuevamente:1 -1 -10 -8 -1 x = -1 -1 +2 +8 1 -2 -8 0 Coeficientes del cociente
Se anula para x = -1, luego x3 - x2 - 10x - 8 es divisible entre x + 1. El cociente será x2 - 2x -8, luegox3 - x2 - 10x - 8 = (x + 1)(x2 - 2x - 8) Sustituyendo en (1) este valor, tenemos:x4 - 11x2 - 18x - 8 = (x + 1)(x + 1)(x2 - 2x - 8) (factorizando el trinomio) = (x + 1)(x + 1)(x - 4)(x + 2) = (x + 1)2(x + 2)(x - 4) - Descomponer por evaluación x5 - x4 - 7x3 - 7x2 + 22x + 24
Los factores de 24 son (1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24).Pruebas
Coeficientes del polinomio 1 -1 -7 -7 +22 +24 +1 x = 1 +1 0 -7 -14 + 8 1 0 -7 -14 + 8 +32 no se anula 1 -1 -7 -7 +22 +24 -1 x = -1 -1 +2 +5 + 2 -24 1 -2 -5 -2 +24 0 Coeficientes del cociente
Se anula para x = -1, luego es divisible entre x + 1. El cociente será x4 - 2x3 - 5x2 - 2x + 24, luego:x5 - x4 - 7x3 - 7x2 + 22x + 24 = (x + 1)(x4 - 2x3 - 5x2 - 2x + 24) (1) Ahora descomponemos x4 - 2x3 - 5x2 - 2x + 24. Se prueba nuevamente x = -1.Coeficientes del polinomio 1 -2 -5 -2 +24 -1 x = -1 -1 +3 +2 0 1 -3 -2 0 24 no se anula 1 -2 -5 -2 +24 +2 x = 2 +2 0 -10 -24 1 0 -5 -12 0 Coeficientes del cociente
Se anula para x = 2, luego x4 - 2x3 - 5x2 - 2x + 24 es divisible entre x - 2
El cociente es x3 - 5x - 12, luego:x4 - 2x3 - 5x2 - 2x + 24 = (x - 2)(x3 - 5x - 12) Sustituyendo esta descomposición en (1), tenemos:x5 - x4 - 7x3 - 7x2 + 22x + 24 = (x + 1)(x - 2)(x3 - 5x - 12) (2) Ahora descomponemos x3 - 5x - 12. Se prueba nuevamente x = 2, y se pone cero en el lugar correspondiente a la x2 que falta. Tendremos:Coeficientes del polinomio 1 0 -5 -12 +2 x = 2 +2 +4 -2 1 +2 -1 -14 no se anula 1 0 -5 -12 -2 x = -2 -2 +4 +2 1 -2 -1 -10 no se anula 1 0 -5 -12 +3 x = 3 +3 +9 +12 1 +3 +4 0 Coeficientes del cociente
Se anula para x = 3, luego x3 - 5x - 12 es divisible entre x - 3. El cociente es x2 + 3x + 4, luego:x3 - 5x - 12 = (x - 3)(x2 + 3x + 4) Sustituyendo esta descomposición en (2), tenemos:x5 - x4 - 7x3 - 7x2 + 22x + 24 = (x + 1)(x - 2)(x - 3)(x2 + 3x + 4) (El trinomio x2 + 3x + 4 no tiene descomposición).
| Combinación de casos |
| Factorización |
