Factorización, caso 10

Suma o diferencia de dos potencias iguales

El cociente que resulta de dividir la suma o diferencia de las potencias iguales de dos cantidades entre la suma o diferencia de esas cantidades (Ver→95), es un cociente notable mediante el cual, aplicando el teorema del residuo y conociendo cómo se halla el cociente cuando la división es exacta (Ver→102), se prueba que:

1. aⁿ - bⁿ es divisible entre a - b siendo n par o impar.
2. aⁿ - bⁿ es divisible entre a + b cuando n es par.
3. aⁿ + bⁿ es divisible entre a + b siendo n impar.
4. aⁿ + bⁿ nunca es divisible entre a + b ni entre a - b cuando n es un número par.

Factorizar una suma o diferencia de potencias iguales

1. Factorizar m⁵ + n⁵
   Dividiendo entre m + n (Ver→96, 4º) los signos del cociente son alternativamente más y menos:

   m5 + n5	=	m4 - m3n + m2n2 - mn3 + n4
   m + n

   Luego:    m⁵ + n⁵ = (m + n)(m⁴ - m³n + m²n² - mn³ + n⁴)



2. Factorizar x⁵ + 32
   Esta expresión puede escribirse x⁵ + 2⁵. Dividiendo entre x + 2 tenemos:

   x5 + 32	=	x4 - x3(2) + x2(22) - x(23) + 24
   x + 2
   O sea:

   x5 + 32	=	x4 -2x3 + 4x2 - 8x + 16
   x + 2

   Luego:    x⁵ + 32 = (x + 2)(x⁴ -2x³ + 4x² - 8x + 16)



3. Factorizar a⁵ - b⁵
   Dividiendo entre a - b (Ver→96, 4º) los signos del cociente son todos más:

   a5 - b5	=	a4 + a3b + a2b2 + ab3 + b4
   a - b

   Luego:    a⁵ - b⁵ = (a - b)(a⁴ + a³b + a²b² + ab³ + b⁴)



4. Factorizar x⁷ - 1
   Esta expresión equivale a: x⁷ - 1⁷. Dividiendo entre x - 1 tenemos:

   x7 - 1	=	x6 + x5(1) + x4(12) + x3(13) + x2(14) + x(15) + 16
   x - 1
   O sea:

   x7 - 1	=	x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1
   x - 1

   Luego:    x⁷ - 1 = x⁶ + x⁵ + x⁴ + x³ + x² + x + 1

Nota

Las expresiones que corresponden al caso anterior xⁿ + yⁿ   o   xⁿ - yⁿ en que n es impar y múltiplo de 3, como:x³ + y³, x³ - y³, x⁶ + y⁶, x⁶ + y⁶, x⁹ + y⁹, x⁹ - y⁹, x¹⁵ + y¹⁵, x¹⁵ - y¹⁵, pueden descomponerse por el método anteriormente expuesto o como suma o diferencia de cubos. Generalmente es más expedito esto último.
Las expresiones de la forma xⁿ - yⁿ en que n es par, como x⁴ - y⁴, x⁶ - y⁶, x⁸ - y⁸ son divisibles entre x+ y o x - y,  y pueden descomponerse por el método anterior, pero mucho más fácil es factorizarlas como diferencia de cuadrados.

Caso 9

Combinación de casos