Cuadrado de la diferencia de dos cantidades


Elevar al cuadrado (a - b) equivale a multiplicar este binomio por sí mismo:
(a - b)2 = (a - b)(a - b)
Efectuando este producto, tenemos:
 a   -    b           
x   a   -    b 
a2   -  ab   
      -  ab   +   b2
a2   - 2ab  +   b2
o sea que (a - b)2 = a2 - 2ab + b2

luego, el cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera menos el doble producto de la primera por la segunda más el cuadrado de la segunda.

Ejercicios

Las operaciones deben hacerse mentalmente y escribir solamente el producto.

  1. Desarrollar (x - 5)2
    Cuadrado del primer término: x2
    Doble producto del primero por el segundo: 2x  x  5 = 10x
    Cuadrado del segundo: 52 = 25
    Luego: (x - 5)2 = x2 - 10x +25


  2. Desarrollar (4a2 - 3b3)2
    Cuadrado del primero: (4a2)2 = 16a4
    Doble del primero por el segundo: 2(4a2)(3b3) = 24a2b3
    Cuadrado del segundo: (3b3)2 = 9b6
    Luego: (4a2 - 3b3)2 = 16a4- 24a2b3 + 9b6


  3. Efectuar (x5 - 3ay2)2
    Cuadrado del primero: (x5)2 = x10
    Doble del primero por el segundo: 2(x5)(3ay2) = 6ax5y2
    Cuadrado del segundo: (3ay2)2 = 9a2y4
    Luego: (x5 - 3ay2)2 = x10 - 6ax5y2 + 9a2y4


  4. Efectuar (10x3 - 9xy5)2
    Cuadrado del primero: (10x3)2 = 100x6
    Doble del primero por el segundo: 2(10x3)(9xy5) = 180x4y5
    Cuadrado del segundo: (9xy5)2 = 81x2y5
    Luego: (10x3 - 9xy5)2 = 100x6 - 180x4y5 + 81x2y5

Representación gráfica del cuadrado de la diferencia de dos cantidades


Tenemos, en la siguiente figura, un cuadrado dividido en cuatro cuadriláteros, así:
  • un cuadrado de a unidades de lado, es decir, de lado a y de área a2,
  • un cuadrado de b unidades de lado, es decir, de lado b y de área b2, y
  • dos rectángulos de a unidades de largo, b unidades de ancho y área ab cada uno.
ab
a 
a2
ab
b 
ab
b2

Quitamos del anterior cuadrado los dos rectángulos de a de largo y b de ancho, es decir, quitamos 2ab.

Como podemos observar en la figura siguiente, en el área que ocupaba el cuadrado completo queda un cuadrado formado por:
  • el cuadrado de a de lado y área a2,
  • el cuadrado de b de lado y área b2, y
  • los espacios correspondientes a los dos rectángulos de área ab que quitamos;
o sea que el área que ocupaba el cuadrado completo queda como un cuadrado de a - b de lado, cuya área es (a - b)(a - b) = (a - b)2.
a            -b
a 


-
a2
ab
b 
ab
b2
   Luego: (a - b)2 = a2 - 2ab + b2


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