Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades

Sea el producto (a + b)(a - b).

Efectuando esta multiplicación tenemos:

 a   +  b           
x   a   -   b 
a2  +  ab   
      -  ab  -  b2
a2            -  b2

O sea que (a + b)(a - b) = a2 - b2

luego, la suma de dos cantidades multiplicada por su diferencia es igual al cuadrado del minuendo (en la diferencia) menos el cuadrado del sustraendo.

Ejercicios

  1. Efectuar (2a + 3b)(2a - 3b)
    Cuadrado del minuendo : (2a)2 = 22a2 = 4a2
    Cuadrado del sustraendo : (3b)2 = 32b2 = 9b2
    Luego : (2a + 3b)(2a - 3b) = 4a2 - 9b2


  2. Efectuar (5an+1 + 3am)(3am - 5an+1)

    Para el resultado (cuadrado del minuendo menos el cuadrado del sustraendo) debemos tener en cuenta el factor diferencia y escribir el cuadrado de los términos en el mismo orden en que están los términos en ese factor, y no como están en el factor suma, porque aunque en la suma el orden de los sumandos no altera el resultado, 5an+1 + 3am es lo mismo que 3am + 5an+1 y por consiguiente podemos invertir el orden, en la diferencia no ocurre lo mismo ya que 3am - 5an+1 no es lo mismo que 5an+1 - 3am.

    Luego (5an+1 + 3am)(3am - 5an+1) = (3am +5an+1)(3am - 5an+1)

    Entonces tenemos:

    Cuadrado del minuendo : (3am)2 = 9a2m
    Cuadrado del sustraendo : (5an+1) = 25a2n+2
    Luego : (5an+1 + 3am)(3am - 5an+1) = 9a2m - 25a2n+2


  3. Efectuar (a + b + c)(a + b - c)

    Este producto puede convertirse en la suma de dos cantidades multiplicada por su diferencia, así:

    (a + b + c)(a + b - c) = [(a + b) + c][(a + b) - c]
    Y entonces:
    Cuadrado del minuendo:  = (a + b)2 → a2 + 2ab + b2
    Cuadrado del sustraendo = c2
    Luego:
    (a + b + c)(a + b - c) = a2 + 2ab + b2 - c2

    Hemos desarrollado (a + b)2 por la regla del cuadrado de la suma de dos cantidades.

  4. Efectuar (a + b + c)(a - b - c)
    • Introduciendo los dos últimos términos del primer trinomio en un paréntesis precedido del signo más, lo cual no hace variar los signos, y
    • los dos últimos términos del segundo trinomio en un paréntesis precedido del signo menos, Para lo cual hay que cambiar los signos, tendremos:
    (a + b + c)(a - b - c)  =  [a + (b + c)][a - (b + c]
    Y entonces:
    Cuadrado del minuendo  =  a2
    Cuadrado del sustraendo  =  (b + c)2 → b2 + 2bc + c2
    Luego:
    (a + b + c)(a - b - c)  =  a2 - (b2 + 2bc + c2)
       =  a2 - b2 - 2bc - c2

    Hemos desarrollado (b + c)2 por la regla del cuadrado de la suma de dos cantidades.


  5. Efectuar (2x + 3y - 4z)(2x - 3y + 4z)
    (2x + 3y - 4z)(2x - 3y + 4z)  =  [2x + (3y - 4z)][2x - (3y - 4z)]
       =  (2x)2 - (3y - 4z)2
       =  4x2 - (9y2 - 24yz + 16z2)
       =  4x2 - 9y2 + 24yz - 16z2
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Representación gráfica
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